Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке

Предположим, что генеральная совокупность является нор­мальным распределением (здесь вместо вероятности следует ис­пользовать относительную частоту). Нормальное распределение полностью определено математическим ожиданием (средним зна­чением) и средним квадратическим отклонением. Поэтому если по выборке можно оценить, т. е. приближенно найти, эти парамет­ры, то будет решена одна из задач математической статистики — определение параметров большого массива по исследованию его части.

Как и для выборки, для генеральной совокупности можно оп­ределить генеральную среднюю хr — среднее арифметическое значение всех величин, составляющих эту совокупность. Учиты­вая большой объем этой совокупности, можно полагать, что гене­ральная средняя равна математическому ожиданию:

где X — общая запись случайной величины (значения изучаемого признака) генеральной совокупности.

Рассеяние значений изучаемого признака генеральной сово­купности от их генеральной средней оценивают генеральной дис­персией

(N — объем генеральной совокупности) или генеральным сред­ним квадратическим отклонением

Точечная оценка.Предположим, что из генеральной совокуп­ности производятся разные выборки; делают это так, чтобы вся генеральная совокупность сохранялась неизменной. Для опреде­ленности будем считать объемы этих выборок одинаковыми и рав­ными п. Их выборочные средние х1, х2, ..., xi., ... являются случай­ными величинами, которые распределены по нормальному зако­ну (см. конец § 2.3), а их математическое ожидание равно математическому ожиданию генеральной совокупности, т. е.генеральной средней:

На практике иногда при достаточно большой выборке за генераль­ную среднюю приближенно принимают выборочную среднюю. Для дисперсий положение получается несколько иным. Математическое ожидание дисперсий различных выборок [M(Dвi)], со­ставленных из генеральной совокупности, отличается от генеральной дисперсии:

Прибольшом п получаем

Длягенерального среднего квадратического отклонения соответ­ственно из (3.14) и (3.14а) получаем:

На практике иногда при достаточно большой выборке выбороч­ное среднее квадратическое отклонение приближенно принимают за генеральное среднее квадратическое отклонение. Так, если счи­тать, что статистическое распределение (см. табл. 5) является вы­боркой из некоторой генеральной совокупности, то на основании (3.6) и (3.9) можно заключить, что для этой генеральной совокуп­ности xr3,468 кг и σг ≈ 0,3896 кг.

Такого рода оценка параметров генеральной совокупности или каких-либо измерений определенными числами называется то­чечной оценкой.

Интервальная оценка генеральной средней.Точечная оцен­ка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности. Поэтому при не­большом объеме выборки пользуются интервальными оценками.

В этом случае указывается интервал (доверительный интер­вал, или доверительные границы), в котором с определенной (до­верительной) вероятностью р находится генеральная средняя.

 

Иначе говоря, р определяет вероятность, с которой осуществ­ляются следующие неравенства:

зуя функцию (3.18). Пределы интегрирования необходимо взять из выражения (3.19):

где положительное число е характеризует точность оценки.

Кроме доверительной вероятности используют «противопо­ложное» понятие — уровень значимости

который выражает вероятность непопадания генеральной сред­ней в доверительный интервал.

Доверительную вероятность не следует выбирать слишком ма­ленькой (не следует ее обесценивать). Наиболее часто р прини­мают равной 0,95; 0,99; 0,999. Чем больше р, тем шире интервал, т. е. тем больше е. Чтобы установить количественную связь между этими величинами, необходимо найти выражение для довери­тельной вероятности. Это можно сделать, используя (2.17), одна­ко нужно понять, что при этом следует взять за функцию распределения вероятностей и какие принять пределы ин­тегрирования. Рассмотрим этот вопрос.

Итак, генеральная совокупность распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (средним значением) хГ и дисперсией DT. Если из этой генеральной совокупности брать раз­ные выборки с одинаковым объемом п, то можно для каждой вы­борки получить среднее значение хв. Эти средние значения сами являются случайными величинами. Их распределение, т. е. рас­пределение средних значений разных выборок, полученных из одной генеральной совокупности, будет нормальным со средним значением, равным среднему значению генеральной совокупности хт, дисперсией — и средним квадратическим отклонением (см. конец § 2.2).

Таким образом, хв уже выступает как случайная величина, для нее можно записать следующую функцию распределения вероят­ностей [см. (2.22)]:

Из (3.16) можно записать для хв следующие неравенства:

 

Вероятность того, что хв попадает в этот интервал (доверитель­ную вероятность), можно найти по общей формуле нахождения р по х или т по р можно воспользоваться таол. ( или таблицей функции Ф (см. [2]).

 

 

Результаты интегрирования (3.20) найдем, используя функ­цию Ф (см. § 2.3). По формуле (2.25) получим

Обозначая

и учитывая (см. § 2.3), что Ф(-τ) = 1 - Ф(τ), получим из (3.21):

Таблица 7

τ
0,0 0,5 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,4
0,9
1,4
1,9

Хотя неравенства (3.16) и (3.19) по существу идентичны, но для практических целей важнее запись (3.16), так как она позво­ляет решить главную задачу — при заданной доверительной веро­ятности и найденной выборочной средней найти доверительный интервал, в который попадает генеральная средняя.

Запишем неравенство (3.16), подставив в него выражение εиз формулы (3.22):

Практически при нахождении доверительного интервала по фор­муле (3.24) берут выборочную среднюю некоторой конкретной вы­борки (объем п > 30), а вместо генеральной средней квадратичной используют выборочную среднюю квадратичную этой же выборки. Поясним это некоторым примером. Вновь обратимся к данным таблиц, считая их выборкой. Найдем доверительный интервал для генеральной средней, из которой эта выборка получена, счи­тая доверительную вероятность равной р = 0,95. Из (3.23) для такой доверительной вероятности получаем: Ф(τ) = 0,975.

В табл. 7 левый вертикальный столбец содержит значения с точ­ностью до десятых долей, а верхняя горизонтальная строчка дает сотые доли т, поэтому для Ф(х) = 0,975 имеем х = 1,9 + 0,06= = 1,96. Подставляя это значение τ, выборочную среднюю (3.6), выборочное среднее квадратическое отклонение (3.9) и объем вы­борки (п = 100) в выражение (3.24),

или

Интервальная оценка генеральной средней при малой вы­борке.При достаточно большом объеме выборки можно сделать вполне надежные заключения о генеральной средней. Однако на практике часто имеют дело с выборками небольшого объема (п < 30). В этом случае в выражении доверительного интервала (3.16) точ­ность оценки определяется по следующей формуле:

где t — параметр, называемый коэффициентом Стьюдента (его на­ходят из распределения Стьюдента; оно здесь не рассматривает­ся), который зависит не только от доверительной вероятности р, но и от объема выборки п. Коэффициент Стьюдента. Запишем неравенство (3.16), подставив в него выражение из формулы (3.26): 4п - 1

Поясним использование формулы (3.26) следующим примером. Предположим, что из генеральной совокупности, которую исполь­зовали при составлении выборки (см. табл. 5), взяли 10 случайных данных и получили следующее распределение (табл. 9):

Таблица 9

Масса, кг 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,7 3,8 4,0 4,4
Частота

Отсюда можно вычислить хв = 3,54 кг, DB = 0,19156 кг2 и св = 0,43767 кг. Задав доверительную вероятностью = 0,95, находим для объема выборки п — 10 параметр t = 2,26. Подставляя эти данные в (3.26), получаем для доверительного интервала [см. (3.27)]:

Полезно сопоставить соотношения, полученные для большой (3.25) и малой (3.28) выборок.

Интервальная оценка истинного значения измеряемой ве­личины.Интервальная оценка генеральной средней может быть ис­пользована для оценки истинного значения измеряемой величины.

Пусть несколько раз измеряют одну и ту же физическую вели­чину. При этом по разным случайным причинам, вообще говоря, получают разные значения: x1 x2, х3, ... . Будем считать, что нет преобладающего влияния какого-либо фактора на эти измерения.

Истинное значение измеряемой величины (xист) совершенно точ­но измерить невозможно хотя бы по причине несовершенства изме­рительных приборов. Однако можно дать интервальную оценку для этого значения.

Если значения x1 x2, х3, ... рассматривать как варианты выбор­ки, а истинное значение измеряемой величины хист как аналог ге­неральной средней, то можно по описанным выше правилам найти доверительный интервал, в который с доверительной вероятно­стью р попадает истинное значение измеряемой величины. Приме­нительно к малому числу измерений (п < 30) из (3.27) получим:

где х — среднее арифметическое значение из полученных измере­ний, а σ — соответствующее им среднее квадратическое отклоне­ние, t — коэффициент Стьюдента.

Более подробно и разносторонне оценка результатов измере­ний рассматривается в практикуме (см. [1]).








Дата добавления: 2015-06-22; просмотров: 1685;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.012 сек.