КИНЕМАТИКА 3 страница

м/с² От в е т: = 0,93 м/с, = 3,23 м/с².
Динамика

Задача Д1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость , движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 — Д1.9, табл. Д1) . На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости v груза (направлена против движения) .

Таблица Д1

В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила , проекция которой F_x на осьx задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t, движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. х = f(t), где х = BD. Трением груза о трубу пренебречь.

Указания. Задача Д1 — на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения на участке АВ или его длину, определить, какую скорость будет иметь груз в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая, что в этот момент времени t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти в уравнении к переменному х, учтя, что

.

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где V = V₀ до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F (t), заданная в ньютонах.

Дано: m = 2кг, R = μV², где μ = 0,4кг/м, V₀ =5м/с, l=2,5 м, F_x = 16 sin (4t).

0пределить: x = f (t) — закон движения груза на участке ВС. Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз

материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проводим ось Az и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

или (1)

Далее находим: Pz = P = mg, Rz = - R = -μV² , подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что V_z =V, получим

или (2)

Введем для сокращения записей обозначения

м^-1, м²/с², (3)

где при подсчете принято м/с². Тогда уравнение (2) можно представить в виде

. (4)

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

и . (5)

По начальным условиям при z = 0, V =V₀ что дает С₁ = ln (V²₀ — n), и из равенства (5) находим In (V² — n) = — 2kz + ln (V²₀ — n) или In (V² — n)— Iп (V²₀— n) = — 2kz. Отсюда

и .

В результате находим

. (6)

Полагая в равенстве (6) z = l = 2,5 м и заменяя k иn их значениями (3), определим скорость V_B груза в точке В (V₀ = 5 м/с, число е = 2,7):

и м/с (7)

2. Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость V_B будет для движения на этом участке начальной скоростью (V₀= V_B) . Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы , и .

Проведем из точки В ось Bx и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

. (8)

Так как Px= Р sin 30⁰ =0,5mg, N_x=О, F_x= 16 sin (4t), то уравнение (8) примет вид

. (9)

Разделив обе части равенства на т = 2 кг и полагая опять g = 10 м/с², получим

. (10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt иинтегрируя, найдем

. (11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 V_x = V₀ = = V_B, где V_B дается равенством (7) . Подставляя эти величины в (11), получим

При найденном значении C₁уравнение (11) дает

. (12)

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем (13)

Так как при t = 0 х =О, то С₃ = 0 и окончательно искомый закон движения груза будет

х = 2,5t² + 8,4t — 0,5 sin (4t), (14)

где х — в метрах, t — в секундах.

Задача Д2

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой т₁ = 24 кг и груза D массой т₂ = 8 кг; плита или движется вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д2.0 —

Д2.4), или вращается вокруг вертикальной оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. Д2.5 — Д2.9).

В момент времени t₀ = 0 груз начинает двигаться под действием внутреннихсил по имеющемуся на плите желобу; закон его движения s = АD= F (t) задан в табл. Д2, где s выражено в метрах, t — в секундах. Форма желоба на рис. Д2.0, Д2.1, Д2.8, Д2.9 — прямолинейная (желоб КЕ), на рис. Д2.2 — Д2.7 — окружность радиуса R = 0,8 м с центром в центре масс С, плиты (s = AD на рис. Д2.2 — Д2.7 отсчитывается по дуге окружности).

Плита (рис. Д2.0 — Д2.4) имеет в момент t₀ = 0 скорость V₀ = 0.

Плита (рис. Д2.5-Д2.9) имеет в момент времени t₀ = 0 угловую скорость ω₀ = 8 с ', ив этот момент на нее начинает действовать вращающий момент М (момент относительно оси z), заданный в таблице в ньютонометрах и направленный как ω₀, при М > 0 и в противоположную сторону при М < О. Ось z про ходит от центра С, плиты на расстоянии В; размеры плиты показаны на рисунках.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить указанное в таблице в столбцах 4 и 9, где обозначено: в столбце 4 (относится к рис. Д2.0-Д2.4) х₁ — перемещение плиты за время от t₀ = 0 до t₁ = 1 с, V₁ — скорость плиты в момент времени t₁ = 1 с, N₁ — полная сила нормального давления плиты на направляющие в момент времени t₁ = 1 с (указать, куда сила направлена); в столбце 9 (относится к рис. 5 — 9) ω₁— угловая скорость плиты в момент времени t₁ = 1 с, ω = f(t) — угловая скорость плиты как функция времени.

На всех рисунках груз показан в положении, при котором s = AD > 0;

при s < 0 груз находится по другую сторону от точки А.

Указания. Задача Д2 — на применение теорем о движении центра масс и об изменении количества движения и кинетического момента системы. Теоремой о движении центра масс целесообразно воспользоваться в задаче, где нужно определить поступательное перемещение одного из тел системы (или реакцию связи), а теоремой об изменении количества движения — когда нужно определить скорость такого тела. Теорема об изменении кинетического момента применяется в задачах, где нужно найти угловую скорость или закон вращения одного из тел системы.

Таблица Д.2

Номер условия	Рис. 0 и 1	Рис. 2 - 4	Рис. 0-4	Рис.5 - 7	Рис. 8 и 9	Рис. 5 - 9
		Найти			b	M	Найти.
			X1					ω = f (t)
			U1					ω1
			N1				12t2	ω = f (t)
			U1					ω1
			X1					ω1
			N1				-12	ω = f (t)
			U1					ω1
			X1					ω1
			N1				-8t	ω = f (t)
			X1					ω1

При решении задачи учесть, что абсолютная скорость груза слагается из относительной ипереносной скоростей (определяются так же, как при решении задачи КЗ), т.е. . Тогда количество движения груза а момент относительно оси z по теореме Вариньона (статика) будет ; эти моменты вычисляются так же, как моменты силы.

Конкретнее ход решения разъяснен в примерах Д2.

Указания. Задача Д2 — на применение теорем о движении центра масс и об изменении количества движения и кинетического момента системы. Теоремой о движении центра масс целесообразно воспользоваться в задаче, где нужно определить поступательное перемещение одного из тел системы (или реакцию связи), а теоремой об изменении количества движения — когда нужно определить скорость такого тела. Теорема об изменении кинетического момента применяется в задачах, где нужно найти угловую скорость или закон вращения одного из тел системы.

Момент инерции плиты относительно оси С₁ z', направленной так же, как ось z на рис. Д2.5 — Д2.9, но проходящей через центр масс С₁ плиты, равняется m₁l²/12, гдеl — ширина плиты (в задаче l = ЗR или l = 4R). Для определения момента инерции I_z относительно оси г воспользоваться теоремой Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей. Ось z при изображении чертежа провести на том расстоянии b от центра C₁, которое указано в таблице.

Пример Д2. К вертикальной плите 1 массой т₁ с помощью невесомого стержня BD длиной l прикреплен груз D массой m₂ (рис. Д2а) . В момент времени t₀ = 0 стержень начинает вращаться вокруг точки В так, что расстояние s = AD изменяется изменяется по закону s = F (t), где s — в метрах, t — в секундах.

Плита движется по горизонтальным направляющим и при t₀ = 0 ее скорость U = U₀

Дано: т₁ =12 кг, m₂ =6 кг, i=0,8 M, t₁=2с,

U₀ = 0, . (1)

1. Определение перемещения х₁ плиты за время от t₀ = 0 до t = t₁ Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза. Изобразим действующие на нее внешние силы: силы тяжести , и суммарную реакцию направляющих. Проведем координатные оси xy так, чтобы ось y прошла через начальное положение центра масс плиты. Для определения х, воспользуемся теоремой о движении центра масс С системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х, обозначая массу системы через m:

, или , так как

Интегрируя это уравнение, получим

, , (2)

где С₁ и С₂ — постоянные интегрирования.

Из формулы, определяющей абсциссу x_C центра масс, следует, что для рассматриваемой системы , где х — абсцисса центра масс плиты, определяющая одновременно ее положение, — абсцисса груза D. Из рис. ДЗ а видно, что , где

и . (3)

В результате, найдя значение mx_C и подставив его в (2), получим

. (4)

Для определения постоянных С₁ и С₂ понадобится еще одно уравнение, которое получим, продифференцировав обе части равенства (4) по времени; это даст:

, (5)

Где — скорость плиты. По начальным условиям при t = 0 х =0, , = 0. Подставив эти величины в равенства (5) и (4), получим С₁ = 0, С₂ = m₂l . При найденных значениях С₁ и С₂ из равенства (4) окончательно получим

.

Этот результат дает зависимость х от t Полагая здесь t = t₁ = 2 с, найдем искомое перемещение х₁. 0 т в е т: х₁ = -0,4 м (плита переместится влево).

2. Определение скорости U₁. При тех же условиях (1) найдем скорость и, плиты в момент времени t₁ = 2 с.

Решение. Рассматриваем опять механическую систему, состоящую из плиты и груза, и изображаем действующие на нее внешние силы , и реакцию ; проводим оси ху (рис. Д26) . Для определения и, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы, учитывая, что для рассматриваемой системы где и — количества движения плиты и груза соответственно. Составляя уравнение в проекции на ось х, получим

или ,

так как

Отсюда следует, что

или

. (6)

Для определения V_Dx рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к плите относительным, а движение са- мой плиты — переносным движением. Тогда , где численно V_пер и V_отн= . Покажем вектор на рис. Д2 б, направив его перпендикулярно BD в сторону положительного отсчета s или φ, и определим проекцию вектора на ось х; получим , где

и . (7)

В данной задаче можно еще найти, определив абсциссу точки D, т.е. (рис. Д2а); тогда , где , , а значение cos φ дает равенство (7) .

При найденном значении V_Dx равенство (6), если учесть, что U_x = U ,

а , примет вид

. (8)

По начальным условиям при t = 0 U = 0, что дает С₁ = 0, и окончательно из (8) находим

.

Этот результат определяет зависимость U от t. Полагая здесь t = t₁ = 2 с, найдем искомую скорость U₁ . От в е т: U₁ = -0,48 м/с (скорость направлена влево).

3. Определение реакции N₁. При тех же условиях (1) найдем реакцию N₁ направляющих в момент времени t₁ = 2 с.