КИНЕМАТИКА 1 страница

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ

СТАТИКА

Задача C l

Жесткая рама (рис. Cl.0 — C1.9, табл. Cl) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ₁, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н·м и две силы, значения которых, направления и точки приложения указаны в таблице (например, в условиях №1 на раму действуют сила F₁ = 10 Н под углом 30⁰горизонтальной оси, приложенная в точке К, и сила F₄ =40 Н под углом 60⁰ к горизонтальной оси, приложенная в точке Н).

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м.

Указания. Задача Cl — на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F ' иF", для которых плечи легко вычисляются, в частности на составляющие, параллельные координатным осям, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда m_О (F) = m_О(F ') + m_О (F ").

Таблица С1

Сила
F1= 10 H	F2 = 20 Н	F3 = 30 H	F4 = 40 H
Номер   условия	Точка Прилож.	α1	Точка Прилож.	α2	Точка прилож.	α 3	Точка Прилож.	α 4
	-	-	D		Е		-	-
	К		-	-	-	-	H
2	-	-	H		К		-	-
	D		-	-	-	-	Е
	-	-	К		Е		-	-
5	H		-	-	D		-	-
	-	-	Е		-	-	К
	D		-	-	II		-	-
	-	-	Н		-	-	D
	Е		-	-	-	-	К

Пример Сl. Жесткая пластина ABCD (рис. Cl) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В — подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, α=60⁰, Р= 18 кН, γ =75⁰, М =50 кН·м, β = 30⁰, l = 0,5 м.

0пределить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу F, пару сил с моментом М, натяжение троса Т(по модулю Т = Р) и реакции связей Х_А, У_А, R_B (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем дву- мя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости) .

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы F относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу F на составляющие F', F" (F' = F·cos α, F" = F· sin α) иучтем, что m_A (F) = m_A (F') + m_A (F"). Получим

Σ F_kx = 0, Х_A + R_B sin β— F cos α + Т sin γ = 0, (1)

Σ F_ky =0, У_A+R_B cos β +F sin α — Тcos γ = 0, (2)

Σ m_A (F_k) = 0,

М — R_B cos β·* 4l+ F cos α · 2l — F sin α ·.3l—Т sinγ·2l = 0. (3)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и, решив эти уравнения, определим искомые реакции.

0 т в е т Х_A = — 8,5 кН, Y_A = — 23,3 кН, R_B = 7,3 кН. Знаки указывают, что силы Х_A и Y_A -направлены противоположно показанным на рис. С1.

Задача С2

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ = 3l, ВС = 2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС' (рис. С2.О-С2.9) .

Таблица С2

Сила
Номер усло­вия	F1= 4 кН	F2 = 6 кН	F3 = 8 кН	F4= 10 кН
Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прклож.		Точка прклож.
	D H - - E - - E - -	- - - - - -	- D E - - D H H - E	- - - -	E - - E H H - - D D	- - - -	- - D H - - D - E -	- - - - - -

На плиту действуют пара сил с моментом М= 6 кН·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С2; при этом силы F₁ и F₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила F₂ — в плоскости, параллельной xz, сила F₃ — в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, Е, Н) находятся в серединах сторон плиты.

Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять l = 0,8м.

Указания. Задача С2 — на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) — две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы F тоже часто удобно разложить ее на составляющие F' и F", параллельные координатным осям; тогда, по теореме Вариньона. m_x (F) = m_x (F' )+ + m_x (F") и т.д.

Пример С2. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. С2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD', лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила F₁, (в плоскости xz), сила F₂, (параллельная оси у) и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).

Дано: Р= 5 кН, М= 3 кН • м, F₁ = 6 кН, F₂ = 7,5 кН, α = 30⁰, АВ = 1 м, ВС = 2 м, СЕ = 0,5 АВ, BК = 0,5 ВС.

0пределить: реакции опор А, В и стержня DD'.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы Р, F₁, F₂, и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие Х_A, У_A, Z_A, цилиндрического (подшипника) — на две составляющие Y_B, Z_B (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию N стержня на- правим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

Σ F_kx = 0, Х_A + F₁, соs α = 0, (1)

Σ F_ky = 0, Y_A + Y_B + F₂ — N cos 75⁰ = 0, (2)

Σ F_kz = 0, Z_A + Z_B — Р — N sin 75⁰ + F₁ sin α = 0, (3)

Σ m_x (F_k) = 0, — F₂ * ВК + N cos 75⁰ * BC = 0, (4)

Σ m_y (F_k) = 0, Р * AB/2 + F₁ cos α * BC — F₁ sin α * AB/2—Z_A * AB + N sin 75⁰ * AB + M = 0, (5)

Σ m_z (F_k) = 0, Y_A * АВ — N cos 75⁰ * АВ= 0. (6)

Для определения момента силы F₁, относительно оси у разлагаем F₁, на составляющие F'₁, и F"₁, параллельные осям х и z (F'₁ = F₁* соs α, F"₁ = F₁* sin α), и применяем теорему Вариньона (см. указания). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции N.

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех задан- ных величин и решив затем эти уравнения, найдем, чему равны искомые реакции.

0 т в е т: Х_A = -5,2 кН, Y_A = 3,8 кН, Z_A = 28,4 кН, Y_B = — 7,5 кН, Z_B = —12,4 кН, N = 14,5 кН. Знаки указывают, что силы Х_A, Y_B и Z_B направлены противоположно показанным на рис. С2.

КИНЕМАТИКА

Задача K1

Точка В движется в плоскости ху (рис. Kl.0 — Kl.9, табл. Kl; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f₁ (t), у = f₂ (t) где х и у выражены в сантиметрах, t — в секундах. Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x = f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f₁ (t) дана в табл. Kl (для рис. 0 — 2 в столбце 2, для рис. 3— 6 в столбце 3, для рис. 7 — 9 в столбце 4) . Как и в задачах Cl, С2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 — по последней.

Таблица К1

Номер условия	Y= f2(t)
Рис. 0-2	Рис. 3-6	Рис. 7-9

Указания.Задача Kl относится ккинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2α = 1 — 2sin² α = 2cos² а — 1; sin 2α = 2 sin α cos α.

Пример Kl. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

x = — 2cos((π ∕4) · t ) + 3. y=2sin ((π ∕8)· t) — 1

(х. у — в сантиметрах, t — в секундах) .

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t = 1 с найти скорость и ускорение. точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где одаргумент вдвое больше другого, используем формулу

cos 2α = 1 — 2 sin² α или cos ((π/4) ·t) = 1— 2sin² ((π/8) ·t) (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1) . Получим

cos ((π/4) * t) = (3 — x)/2, sin ((π/8) * t) = (y+1)/2

следовательно,

(3 — х)/2 = 1 — (2(y+1)²)/4

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. Kl):

точки (парабола, рис. Kl):

x = (y+1)² + 1 (2)

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

V_x = dx/dt = (π/2)· sin (πt/4);

V_y = dy/dt = (π/4) · cos (πt/8);

V =

При t = 1 c V_1x = 1.11см/с, V_1y = 0.73 см/с, V₁ = 1.33 см/с

3. Аналогично найдем ускорение точки:

a_x = = cos ; a_y = = — sin ;

a =

и при t = 1 c a_1x = 0.87 см/с², a_1y = — 0.12 см/с², a₁ = 0.88 см/с². (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V¹ = V²_x + V²_y.Получим

и

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4) . Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t₁ = 1 с а_1τ = 0,66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда

найденные числовые значения а₁ и а_1τ, получим, что при t = 1 с a_1n = 0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения V₁ и a_1n найдем, что при t₁ = 1 с = 3,05 см.

0 т в е т: V₁= 1,33 см/с, а₁ = 0,88 см/с², а_1τ = 0,66 см/с², а_1n = 0,58 см/с², = 3,05 см.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1—3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 — К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁= 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 — г₂ = 6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 — r₃ = 12 см, R₃ = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, В и С.

Таблица К.2

Номер условия	Дано	Найти
скорости	ускорения
	s4=4(7t-t2)	,	,aA,a5
	=2(t2-3)	,	, aB,a4
	=2t2-9	,	,aC,a5
	=7t-3t2	,	,aA,a4
	=3t- t2	,	,aB,a5
	=5t-2t2	,	,aC,a4
	=2(t2-3t)	,	,aC,a5
	=3t2-8	,	, aB,a5
	s5=2t2-5t	,	,aC,a4
	=8t-3t2	,	,aA,a4

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где φ₁(t)— закон вращения колеса 1, s₄(t)— закон движения рейки 4, ω₂(t) — закон изменения угловой скорости колеса 2, υ₅(t) — закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде φ выражено в радианах, s — в сантиметрах, t — в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s₄, s₅ и υ₄, υ₅ — вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (υ — линейные, ω — угловые) и ускорения (а — линейные, ε — угловые) соответствующих точек или тел (υ₅— скорость груза 5 и т.д.).

Указания. Задача К2 — на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

ПримерК2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и г₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса г₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁ = f(f).

Д а н о: R₂= 6 см, г₂ = 4 см, R₃ = 8 см, г₃ = 3 см, s₁ = Зt³ (s — в сантиметрах, t — в секундах), А — точка обода колеса 3, t₁ = 3 с. Определить: ω₃, υ₄, ε₃, a_Aв момент времени t = t₁.

Решение.Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внеш­них ободах колес (радиуса R_i), через υ_i, а точек, лежащих на внутрен­них ободах (радиуса г_i), — через u_i.