КИНЕМАТИКА 2 страница

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функ­ции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость: . (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то υ₂ = υ₁ или ω₂R₂= v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следователь­но, и₂ = υ₃ или ω₂r₂ = ω₃R₃. Из этих равенств находим

. (2)

Тогда для момента времени t₁ = 3 с получим ω₃ = 6,75 с ^-1.

2. Определяем υ₄. Так как υ₄ = υ_B= ω₃r₃, то при t₁ = 3 с υ₄ = 20,25 см/с.

3. Определяем ε₃. Учитывая второе из равенств (2), получим ε₃ = = 1,5t. Тогда при t₁ = 3 с ε₃ = 4,5 с ^-2.

4. Определяем a_А. Для точки A , где численно = R₃ε₃, = . Тогда для момента времени t₁ = 3 с имеем

= 36 см/с², = 364,5 см/с² ;

= 366,3 см/с².

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

О т в е т: ω₃ = 6,75 с ^-1, υ₄ = 20,25 см/с, ε₃ = 4,5 с ^-2, =366,3 см/с².

Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1 — 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами (рис. К3.0 — К3.9). Длины стержней: l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,8 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех рисунках иточка К на рис. К3.7-К3.9 в середине соответствующего стержня.

Таблица К3
Номер условия	Углы	Дано	Найти
					ω1	ω4
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-

Определить:величины, указанные в таблице в столбце "Найти". Найти также ускорение a_A точки А стержня l , если стержень 1 имеет в данный момент времени угловое ускорение ε₁= 10 с².

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу илипротив хода часовой стрелки (например, угол т на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 — от стержня АЕ по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом а; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К3 (см. рис. К3). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость V_B — от точки В к b.

Указания. Задача К3 — на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Пример К3.Механизм (рис. К, а) состоит из стержней 1, 2, 3. 4 и ползуна В, соединенных друг с другом ис неподвижными опорами О, и О, шарнирами.

Д а н о: α = 120⁰, β = 60⁰, γ = 90⁰, φ = 0⁰, θ = 30⁰, AD = DE, 1₁ = 0,6 м, 1₃ = 1,2 м, ω₁ = 5 c^-1, ε₁ = 8 c^-2.

Определить: V_B,V_E, ω₃ и а_A.

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3, б).

2. Определяем V_E. Точка Е принадлежит стержню АЕ. Чтобы найти V_E, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление V_E. По данным задачи можем определить

V_A = ω₁l₁= 5* 0,6 = 3 м/с; (1)

Направление найдем, учтя, что точка Е принадлежит одновременно стержню O₂ Е,вращающемуся вокруг О₂ ;следовательно, . Теперь, зная и направление воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АЕ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АЕ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки) . Затем, вычисляя эти проекции, находим

; м/с (2)

3. Определяем . Точка В принадлежит стержню ВD. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого, зная и , построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АЕ; это точка С₂, лежащая на пересечении перпендикуляров к и восставленных из точек А и Е (к и перпендикулярны стержни 1 и 4) . По направлению вектора определяем направление поворота стержня АЕ вокруг МЦС С₂. Вектор будет перпендикулярен отрезку С₂ D, соединяющему точки D и С₂, и направлен в сторону поворота. Величину ) найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С₂ D и С₂ А, заметим, что ∆ А С₂ Е — прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30⁰ и 60⁰, и что С₂ А=

= АЕ * sin 30 = 0,5 AE=АD. Тогда ∆ А С₂ D является равносторонними С₂ А = С₂ D. В результате равенство (3) дает

м/с; (4)

Так как точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление известно. Toгда, восставляя из точек В и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С₃ стержня BD. По направлению вектора определяем направление поворота стержня BD вокруг центра С₃. Вектор будет направлен в сторону поворота стержня BD. Из рис. К3, б видно, что

∟ С₃ D B = 30⁰, а ∟ D C₃ В = 90⁰, откуда С₃ В = l₃ sin 30⁰, С₃ D = l₃ cos 30⁰. Составив теперь пропорцию, найдем, что

; м/с (5)

4. Определяем a_A. Так как МЦС стержня 3 известен (точка С₃), то

c^-1

5. Определяем a_A. Так как ε₁, известно, то = l₁ * ε₁. Далее = , или = l₁ω²₁. Тогда . Произведя вычисления, получим a_A = 15,8 м/c²

О т в е т: = 5,2 м/с, = 1,7 м/с, = 2,9 с^-1, a_A = 15,8 м/c²

Задача K4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0-К4.5) или круглая пластина радиусом R = 60 см (рис. К4.6 — К4.9) вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω, заданной в табл. КЗ (при знаке минус направление ω противоположно показанному на рисунке).

Ось вращения на рис. К4.0 — К4.З и К4.8, К4.9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. К4.4 — К4.7 ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве) .

Таблица К4

Номер усло­вия	ω, 1 /с	Рис. 0-5	Рис. 6-9
b, см	s = AM = f(t)	l
	-2			R
				R
				R
	-4
	-3			R
				R
	-5			R
				R/4
	-5

По пластине вдоль прямой В D (рис. К4.0 — К4.5) или по окружности радиуса R, т.е. по ободу пластины (рис. К4.6 — К4.9), движется точка М. Закон ее относительного движения, выражаемый уравнением s = AM = = f (t) (s — в сантиметрах, t — в секундах), задан в табл. К4 отдельно для рис. К4.0 — К4.5 и для рис. К4.6-К4.9, при этом на рис. 6-9 s = AM и отсчитывается по дуге окружности; там же даны размеры b и l. На всех рисунках точка М показана в положении, при котором s = АМ > 0 (при s > 0 точка М находится по другую сторону от точки А) .

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1 с.

Указания. Задача К4 — на сложное движение точки. При ее решении движение точки по пластине считать относительным, а вращательное движение самой пластины — переносным и воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить расчеты, следует изобразить точку М на пластине в том положении, в котором нужно определить ее абсолютную скорость (или ускорение), а не в произвольном положении, показанном на рисунках к задаче.

В случаях, относящихся к рис. К4.6 — К4.9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁ = 1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.

Пример К4. Шар радиуса R (рис. К4, а) вращается вокруг своего диаметра АВ по закону φ = f₁ (t) (положительное направление отсчета угла у показано на рис. К4, а дуговой стрелкой) . По дуге большого круга ("меридиану") ADB движется точка М по закону s =АМ= f₂ (t); положительное направление отсчета расстояния s от А к D.

Дано: R = 0.5 м, φ = -2t, s=(πR/6)(7t — 2t² ) (φ — в радианах, s - в метрах, t — в секундах)

Определить: и в момент времени t₁ = 1 с.

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге A D B относительным (АВ — относительная траектория точки), а вращение шара — переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам

, , (1)

где, в свою очередь,

,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону

(2)

Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге ADB в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t = 1 с, получим . Тогда ∟ A C M₁ = или ∟ B C M = 30⁰. Изображаем на рис. К4, а точку в положении, определяемом этим углом (точка М₁).

Теперь находим числовые значения , , :

, ,

,

где — радиус кривизны относительной траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени t₁ = 1 с, учитывая, что А = 0,5 м, получим

м/с, м/с, м/с. (3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор — в противоположную сторону; вектор направлен к центру С дуги ADB. Изображаем все эти векторы на рис. К4, а. Для наглядности приведен рис. К4, б, где дуга АРВ совмещена с плоскостью чертежа.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону φ = -2t. Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: ω = = — 2, ε = = 0 (шар вращается равномерно) . Таким образом,

ω = -2 с^-1, ε =0 (4)

Знак указывает, что направление ω противоположно положительному направлению отсчета угла φ; отметим это на рис. К4, а соответствующей дуговой стрелкой.

Для определения и найдем сначала расстояние h точки М₁ от оси вращения: h = R sin 30⁰ = 0,25 м. Тогда в момент времени t₁ = 1 с, учитывая равенства (4), получим

м/с,

, м/с² (5)

Изображаем на рис. К4, а вектор с учетом направления ω и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 60⁰, то численно в момент времени t₁ = 1 с [см. равенства (3) и (4)]

м/с² (6)

Направление найдем, спроектирован вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω, т.е. по ходу часовой стрелки, на 90⁰. Иначе направление можно найти, учтя, что . Изображаем вектор на рнс. К4, а.

Теперь можно вычислить значения и

4. 0пределение. так как ,а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рис. К4, а), то в момент времени t₁ = 1 с

м/с²

5. 0пределение . По теореме о сложении ускорений, так как = 0,

(7)

Для определения проведем координатные оси М₁ x y z (рис. КЗ, а)

и вычислим проекции вектора на эти оси. Учтем при этом, что вектор лежит на проведенной оси х, а векторы , , расположены в плоскости дуги ADB, т.е. в плоскости М₁ y z (рис. К4, б). Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t₁ = 1 с:

м/с²,

м/с²,

м/с²

Отсюда находим значение в момент времени t, = 1 с: