Равен .

Спектр амплитуд сверху всегда ограничен линией, которая падает с ростом частоты (номера) гармоники. Вводится понятие огибающей спектра амплитуд, определяемой как непрерывная функция частоты , которая в точках точно совпадает со значениями

Рис. 7.4 амплитуд гармоник. Формулу

огибающей можно получить из выражения для спектра амплитуд, подобного (7.20), при замене номера гармоники величиной

, (7.22)

где непрерывная переменная.

В примере (7.20) получим

, (7.23)

график показан на рис. 7.3а пунктирной линией. Характерной особенностью огибающей спектра амплитуд сигнала рис. 7.2 является наличие точек с нулевым значением (нулей огибающей), определяемых из уравнения

, (7.24)

решение которого имеет вид

, (7.25)

где - целое число. Как видно, положение нулей огибающей определяется только длительностью импульса .

7.4. Синтез сигнала по его спектру

Если известны спектры амплитуд и фаз, то с помощью ряда Фурье (7.13) можно получить сигнал как функцию времени. Бесконечная сумма на практике не реализуема и сигнал описывается конечной суммой гармоник,

. (7.26)

Соответствующие кривые при , и показаны на рис. 7.5а, рис. 7.5б, и рис. 7.5в соответственно.

Как видно, с увеличением форма синтезированного сигнала приближается к исходной (рис. 7.2).

7.5. Ряд Фурье в комплексной форме

Гармоники сигнала могут быть представлены своими комплексными амплитудами в виде

, (7.27)

тогда исходный сигнал можно представить в виде ряда Фурье,

. (7.28)

Рис. 7.5

Амплитуда -й гармоники равна модулю комплексной амплитуды,

, (7.29)

а ее начальная фаза – аргументу с противоположным знаком,

(7.30)

Комплексная амплитуда гармоники (2.27) позволяет существенно упростить расчеты спектров амплитуд и фаз за счет сокращения числа интегралов и с учетом того, что подынтегральное выражение с экспонентой часто интегрируется проще, чем с тригонометрической функцией.

Рассмотрим сигнал, показанный на рис. 7.6, тогда

(7.31)

Как видно, в данном примере комплексная амплитуда является действительной величиной, что обусловлено формой сигнала на рис. 7.2..Спектры амплитуд и фаз совпадают с ранее полученными значениями.

7.6. Влияние формы сигнала на спектры амплитуд и фаз

Спектры амплитуд и фаз сигнала взаимно однозначно связаны с его формой, которая определяется формой импульсов и их длительностью на периоде повторения.

На рис. 7.6 показана последовательность прямоугольных импульсов длительностью и с амплитудой 1 на интервале периода в нормированных координатах времени . Для этого сигнала характерны крутые(с нулевой продолжи-

тельностью) фронт и срез импульса. Величину

(7.32)

называют скважностью импульсов. На рис. 7.7 приведены спектры амплитуд (рис. 7.7а) и фаз (рис. 7.7б)

Рис. 7.6 при .

Рис. 7.7

На рис. 7.8 приведены аналогичные зависимости при .

Рис. 7.8.

При фиксированном периоде повторения импульсов увеличение скважности означает уменьшение длительности импульса , при этом согласно рис. 7.7а и рис. 7.8а, а также (7.20) амплитуды гармоник падают, спектр амплитуд становится более равномерным, положение нулей огибающей спектра амплитуд смещается в область более высоких частот (номеров гармоник).

Рассмотрим трапециидальный импульс, программа исследование которого в среде MathCAD показана на рис. 7.9. Спектральный анализ проводится с помощью стандартной процедуры спектрального анализа fft(s). Она построена на основе алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) и позволяет получить комплексные коэффициенты , с помощью которых комплексная амплитуда -й гармоники определяется выражением

. (7.33)

Период сигнала выбран равным 1, - число отсчетов сигнала на периоде. Результаты расчета спектров амплитуд и фаз приведены в листинге программы на рис. 7.9 (повторите расчеты самостоятельно для различных параметров сигнала).

Как видно при сравнении графиков спектров амплитуд на рис. 7.7 и рис. 7.9, увеличение длительности фронта и среза импульса приводит к значительному ослаблению высших гармоник сигнала.

На рис. 7.10 показан пример программы расчета спектра амплитуд колоколообразного сигнала вида

, (7.34)

для которого характерно наиболее плавное изменение значений во всем интервале времени.

Рис. 7.9.

График сигнала и его спектр амплитуд показаны в листинге программы на рис. 7.10. Как видно, спектр «гладкого» сигнала сосредоточен в области нижних частот, высшие гармоники практически отсутствуют.

Полученные выводы подтверждают результаты синтеза прямоугольных импульсов по ограниченному числу гармоник, например, показанные на рис. 7.5.

Рис. 7.10.

7.7. Свойства спектров сигналов

Свойства спектров сигналов часто формулируются в виде теорем.

Спектральное преобразование сигнала линейно, то есть комплексная амплитуда суммы сигналов равна сумме комплексных амплитуд гармоник каждого из суммируемых сигналов.На практике особый интерес представляет свойство (теорема) смещениясигнала во времени. Ее можно сформулировать следующим образом.

Взяв модули левой и правой частей (7.30), получим

, (7.36)

то есть спектр амплитуд не изменяется при задержке сиг-