Спектры некоторых периодических и непериодических функций

Спектральная плотность прямоугольного импульса определяется формулой:

, где - площадь импульса.

Спектральная плотность треугольного импульса

, где - площадь импульса

Спектральная плотность косинусоидального импульса

, где - площадь импульса.

Спектральная плотность колокольного импульса

Спектральные плотности всех вышеперечисленных импульсов являются действительными функциями.

Спектр затухающей синусоиды

Спектр импульса в форме отрезка синусоиды, состоящего из целого числа периодов п:

Спектр экспоненциального импульса

Очень часто импульсы определенной формы периодически повторяются. Установим связь между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности таких же импульсов. Наперед ясно одно: спектр одиночного импульса есть спектр сплошной, так как импульс есть непериодиче­ская функция. Если же импульс какой угодно формы пери­одически повторять, то мы получим периодическую функцию, обладающую дискретным гармоническим спектром.

Пусть спектр одиночного импульса есть

Если такой импульс повторять через промежутки време­ни Т, то получится периодическая функция с периодом Т. Коэффициенты линейчатого спектра этой функции могут быть получены по формуле

Сопоставляя эти формулы мы видим, что значения непрерывной функции S₀ совпадают со значениями C_k (с точностью до постоянного множителя 1/Т при определенных зна­чениях аргумента, а именно при

Таким образом, совокупность точек TC_k, определяющих дискретный спектр периодической последовательности импульсов, лежит на кривой , определяющей спектр одиноч­ного импульса.

Можно еще сказать, что линейчатый спектр периодиче­ской последовательности импульсов вписывается в кривую сплошного спектра одиночного импульса.

На этом примере легко проследить предельный переход от ряда к интегралу Фурье: если период повторения воз­растает, т. е. если импульсы повторяются все реже и реже, то точки, изображающие линейчатый спектр, оставаясь на кривой S₀, располагаются на ней все теснее, пока не обра­зуют непрерывную последовательность, т. е. кривую, совпа­дающую с S₀.