Ряд и интеграл Фурье

Понятие о разложении периодических функций в ряд Фурье можно считать общеизвестным. Поэтому здесь напомним лишь основные соотношения и определения.

Всякая периодическая функция может быть представлены в виде разложения по тригонометрическим функциям:

, ,

, .

Величина выражает среднее значение функции за период и часто называется постоянной составляющей:

.

Ряд Фурье может также быть записан в комплексной форме:

Здесь ; ,

В приведенных формулах коэффициенты разложения имеют размерность исходной функции.

Для непериодических, абсолютно интегрируемых функций также применяя разложение по Фурье, устремив период Т к бесконечности и осуществив предельный переход от суммы к интегралу получаем:

.

Здесь выражает не непосредственно амплитуду, а так называемую спектральную плотность или, как обычно называют комплексный спектр непериодической функции, а ее абсолютное значение – просто спектром:

В заключение следует сказать, что размерность, как комплексного спектра, так и просто спектра равна размерности исходной функции поделенной на Гц.