КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Скорость материальной точки.

Перемещением материальной точки за время называется вектор , соединяющий начальное и конечное положение этой точки. Путь - расстояние, пройденное точкой по траектории за время (рис.1).

Рисунок 1 – Перемещение и путь материальной точки.

При прямолинейном движении с постоянной скоростью, скорость определяется как

.

Если скорость меняет величину или направление, ее можно считать постоянной только на малом промежутке времени . Поэтому в каждой точке траектории скорость определяется как отношение пути , пройденного за малое время , к этому временному интервалу (т.е. как производная от пути по времени ),

. (1)

Соответственно путь , пройденный за время , равен интегралу от скорости по времени

. (2)

Скорость - вектор, направленный по касательной к траекториидвижения.

Расстояние и величина перемещения , пройденные за малое время, совпадают, = . При вектор , секущий траекторию, становится касательным к ней вектором , т.е. направлен по скорости . Поэтому в векторном виде скорость записывают как

. (3)

Средней скоростью движения за время называется величина

. (4)

Движение материальной точки также описывают с помощью ее координат . В этом случае, чтобы определить скорость , сначала вычисляют проекции скорости на оси x,y,z , которые равны производным от соответствующих координат по времени

, , . (5)

Тогда величина скорости

. (6)

2. Ускорение точки.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости

, (7)

- изменение вектора скорости за малый промежуток времени .

Ускорение можно разложить на тангенциальное (его еще называют касательным) ускорение и нормальное (центростремительное) ускорение ,

. (8)

Тангенциальное ускорение возникает, если скорость меняет величину, оно равно производной от скорости по времени ,

. (9)

При движении с постоянной по величине скоростью .

Нормальное ускорение

, (10)

- радиус кривизны траектории в данной ее точке. Радиус кривизны равен радиусу окружности, дуга которой совпадает с участком траектории.

Для траектории, представляющей собой прямую линию, и . Т.е. нормальное ускорение возникает только при искривлении траектории движения, когда вектор скорости меняет свое направление.

Если траектория точки – окружность, то радиус кривизны равен радиусу окружности, , и .

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории; направление совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно ему при замедленном. Нормальное ускорение перпендикулярно и направлено в сторону вогнутости траектории (рис.2). Т.к. векторы и перпендикулярны, то величина полного ускорения

. (11)

Рисунок 2 – Направление векторов скорости и ускорения.

При координатном способе задания движения, чтобы определить ускорение, сначала вычисляют его проекции на оси x,y,z

, , . (12)

Величина ускорения в этом случае

. (13)