Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса.
Ускорение составного движения точки М, или абсолютное ускорение этой точки, равно, очевидно, производной от абсолютной скорости точки М по времени t
Поэтому, дифференцируя равенство по времени, получим
.
Разделим слагаемые правой части этого равенства на три группы.
К первой группе отнесем слагаемые, содержащие только производные от относительных координат x,y и z, но не содержащие производные от векторов :
.
Ко второй группе отнесем слагаемые, которые содержат только производные от векторов , но не содержащие производных от относительных координат x,y,z:
.
Осталась еще одна группа слагаемых, которые не могли быть отнесены ни к первой, ни ко второй, так как они содержат производные от всех переменных x, y, z, . Обозначим эту группу слагаемых через :
.
Каждая из выделенных групп представляет собой, по крайней мере по размерности, некоторое ускорение. Выясним физический смысл всех трех ускорений: .
Ускорение , как это видно из равенства, вычисляется так, как если бы относительные координаты x,y,z изменялись с течением времени, а векторы оставались неизменными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы покоилась, а точка М двигалась. Поэтому ускорение представляет собой относительное ускорение точки М. Так как ускорение (и скорость) относительного движения вычисляется в предположении, что подвижная система отсчета находится а покое, то для определения относительного ускорения (и скорости) можно пользоваться всеми правилами, изложенными ранее в кинематике точки.
Ускорение , как это видно из равенства, вычисляется в предположении, что сама точка М покоится по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz (x =const, y =const, z =const) и перемещается вместе с этой системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета . Поэтому ускорение представляет собой переносное ускорение точки М.
Третья группа слагаемых определяет ускорение , которое не может быть отнесено не к относительному ускорению , так как содержит в своем выражении производные не к переносному ускорению , так как содержит в своем выражении производные
Преобразуем правую часть равенства, припомнив, что
Подставляя эти значения производных в равенства, получим
или .
Здесь вектор есть относительная скорость точки М, поэтому
.
Ускорение называют ускорением Кориолиса. Ввиду того, что ускорение Кориолиса появляется в случае вращения подвижной системы отсчета, его называют еще поворотным ускорением.
С физической точки зрения появление поворотного ускорения точки объясняется взаимным влиянием переносного и относительного движений.
Итак, ускорение Кориолиса точки равно по модулю и направлению удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки.
Равенство, которое теперь можно сокращенно записать в виде
.
представляет теорему сложения ускорений в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений. Эту теорему часто называют теоремой Кориолиса.
Из формулы следует, что модуль поворотного ускорения будет
где - угол между вектором и вектором . Чтобы определить направление поворотного ускорения , нужно мысленно перенести вектор в точку М и руководствоваться правилом векторной алгебры. Согласно этому правилу, вектор нужно направлять перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами и , и так, чтобы, смотря с конца вектора , наблюдатель мог видеть кратчайший поворот от к происходящим против движения часовой стрелки (рис. 30).
Для определения направления можно также пользоваться следующим правилом Н. Е. Жуковского: чтобы получить направление поворотного ускорения , достаточно составляющую относительной скорости точки М, перпендикулярную к вектору , повернуть (в плоскости, перпендикулярной к вектору ) на прямой угол вокруг точки М в направлении переносного вращения (рис.51).
Рис.51
Если переносное движение подвижной системы отсчета есть поступательное движение, то и поэтому поворотное ускорение точки также равно нулю. Поворотное ускорение равно, очевидно, нулю и в том случае, когда в данный момент времени обращается в нуль.
Кроме того, поворотное ускорение точки может, очевидно, обращаться в нуль, если:
а) вектор относительной скорости точки параллелен вектору угловой скорости переносного вращения, т.е. относительное движение точки происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения;
б) точка не имеет движения относительно подвижной системы отсчета или относительная скорость точки в данный момент времени равна нулю ( ).
Пример 14. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z. По поверхности его движется точка М (рис. 52). Конечно, скорость этого движения точки – относительная скорость , а скорость вращения тела – угловая скорость переносного движения .
Ускорение Кориолиса , направлено перпендикулярно этим двум векторам, по правилу направления вектора векторного произведения. Так, как показано на рис. 52.
Рис.52
Нетрудно сформулировать более удобное правило определения направления вектора : нужно спроектировать вектор относительной скорости на плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и затем повернуть эту проекцию на 90 градусов в плоскости по направлению переносного вращения. Конечное положение проекции вектора укажет направление кориолисова ускорения. (Это правило было предложено Н.Е. Жуковским).
Пример 15. (Вернемся к примеру 13). Найдем абсолютное ускорение колечка М:
. (6)
Переносное ускорение при движении колечка по окружности радиусом : , где .
Значит (рис.53).
Рис.53
Относительное ускорение .
Ускорение Кориолиса .
Вектор направлен перпендикулярно стержню в сторону вращения (по правилу Жуковского).
|
Величину абсолютного ускорения колечка М найдем с помощью проекций на подвижные оси и проектируя равенство (6) на оси, получим:
Тогда .
Дата добавления: 2015-06-17; просмотров: 970;