Задание К1

4.1.1. Пример решения контрольного задания К1

Пусть точка М движется в плоскости xOy в соответствии с уравнениями

.

Для момента времени = 0,5 с найти положение точки М на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение

Заданный закон движения точки в координатной форме можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Исключим время t из уравнений движения и получим уравнение траектории точки в виде:

= 1.

Таким образом, траекторией точки М является эллипс со смещенным центром, изображенный на рис. 4.1. Отметим на траектории положение точки М₁ (x₁, y₁) в момент времени t₁ = 0,5 c

см;

см.

Вектор скорости точки представим в виде:

,

где – орты координатных осей Оx и Оy; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от соответствующих координат по времени

В момент времени t₁ = 0,5 c

Вектор скорости точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Модуль скорости точки определим по уже найденным проекциям

Вектор ускорения точки представим в виде:

,

где – орты координатных осей Оx и Оy; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от проекций вектора скорости или 2-м производным от соответствующих координат по времени:

В момент времени t₁ = 0,5 c

Вектор ускорения точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор ускорения точки в общем случае должен отклоняться от вектора скорости в сторону вогнутости траектории, а при движении по эллипсовидной траектории – проходить через центр эллипса. Модуль ускорения точки определим по уже найденным проекциям

Вектор полного ускорения точки можно также представить в виде геометрической суммы его проекций на оси естественной системы отсчета

,

где и – единичные орты касательной и главной нормали; и – соответственно проекции вектора ускорения на касательную и главную нормаль. Касательную М₁t направляем по касательной к траектории в сторону движения точки движения, а главную нормаль М₁n – перпендикулярно касательной в сторону вогнутости траектории. При вычислении касательного ускорения удобно воспользоваться формулой, устанавливающей связь между координатным и естественным способами задания движения точки

.

В момент времени t₁ = 0,5 c

.

Значение касательного ускорения имеет отрицательный знак, следовательно, в данный момент времени движение точки замедленное и вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону направлению вектора скорости точки .

Нормальное ускорение вычислим по формуле , если известен радиус кривизны траектории. Например, если точка движется по окружности радиусом R, то в любой точке траектории ρ = R. Если же траекторией движения точки является прямая, то , следовательно, . В данном случае радиус кривизны траектории заранее не известен, поэтому нормальное ускорение определяем по формуле:

.

В момент времени t₁ = 0,5 c

.

Построим векторы и в соответствии с уже выбранным масштабом, а затем сложим их геометрически. В результате получим тот же вектор полного ускорения точки , который ранее уже был получен геометрической суммой составляющих и . Этот факт служит контролем правильности решения.

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим по формуле

.

В момент времени t₁ = 0,5 c

.

Результаты всех вычислений для заданного момента времени приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Координаты, см	Скорости, см/с	Ускорения,	ρ, см
x	y
8,82	2,59	4,44	2,22	4,96	–6,97	3,49	7,79	–4,67	6,23	3,95

Примечание. В последнем столбце через ρ обозначен радиус кривизны траектории в точке .

4.1.2. Условие и варианты задания К1

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Исходные данные для решения приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Номер варианта	Уравнения движения	Время с
, см	, см
К1-1
К1-2
К1-3
К1-4		–4t	0,5
К1-5
К1-6
К1-7
К1-8		–3t	0,5
К1-9
К1-10
К1-11
К1-12	3t	4t2 + 1	0,5

Продолжение табл. 4.2

Номер варианта	Уравнения движения	Время с
К1-13
К1-14
К1-15	–5t2 – 4	3t
К1-16	2 – 3t – 6t2
К1-17
К1-18	7t2 – 3	5t	0,25
К1-19	3 – 3t2 + t
К1-20
К1-21	–6t	2t2 – 4
К1-22
К1-23
К1-24	–4t2 + 1	–3t