ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Рассмотрим идеальную катушку индуктивности, для которой R_k =C = 0 (R_k – активное сопротивление катушки, С – межвитковая емкость). L – индуктивность катушки. Пусть напряжение u = U_m . По цепи протекает переменный ток. Так как ток в цепи изменяется, следовательно в катушке индуцируется эдс индукции e_L = -L di/dt. Уравнение электрического

Рис. 69 Цепь переменного тока с индуктивным элементом: а – схема, б.в – временная и векторная диаграммы.

состояния имеет вид

u + e_L = I R_k = 0. (6-10)

Откуда следует, что u = - e_L = L di/dt.

Из уравнения следует, что для любого момента времени (u) численно равна (e_L) и эти величины находятся в противофазе.

di = u/L dt = U_m . (6-11)

Проинтегрируем последнее выражение

А – постоянная интегрирования, которая при отсутствии постоянной составляющей тока равна нулю.

Заменим - = .

Тогда мгновенное значение тока приобретает вид:

i = U_m/ωL sin(𝜔𝑡− 𝜋/2).

Обозначим U_m/ωL = I_m.

В окончательном виде выражение для тока в цепи с индуктивным элементом

i = I_m . (6-12)

Из сравнения аналитических уравнений напряжения и тока следует, что в результате возникновения в цепи эдс индукции между этими характеристиками возникает фазовый сдвиг равный π/2 или напряжение опережает ток на угол π/2. Это означает, что с нарастанием напряжения от нуля до максимума ток падает по абсолютной величине от максимума до нуля и наоборот (рис. б).

На векторной диаграмме (рис. в), если вектор тока располагается горизонтально, то вектор напряжения – с опережением по фазе на угол π/2.

Индуктивное сопротивление. Произведение - называется индуктивным сопротивлением, которое пропорционально частоте тока (ω =2πν) и индуктивности элемента цепи.

Измеряется индуктивное сопротивление в омах (Ом).

Таким образом, любой элемент цепи, обладающий индуктивностью, создает определенное сопротивление при прохождении через него переменного тока. Это можно пояснить тем, что в индуктивном элементе при прохождении переменного тока происходит возбуждение эдс индукции e_L, которая согласно правила Ленца своим действием направлена против причины, ее порождающей, следовательно, она создает препятствие на пути движения тока. Хотя индуктивное и активное сопротивления имеют одинаковые размерности, причины, их порождающие, различны.

Индуктивное сопротивление – это сопротивление, которое оказывает току индуктированная эдс, возникающая в этом элементе при прохождении через него переменного тока.

Для постоянного тока ν=0 и, следовательно, =0. Для переменного тока, с изменяющейся

Рис. 70 Частотная зависимость индуктивного сопротивления.

частотой от нуля до бесконечности величина увеличивается по линейному закону от = 0 до = ∞ (рис. )

Уравнение мощности. В цепи с индуктивным элементом мгновенное значение мощности

p = ui = I_m ,sin-(𝜔𝑡− 𝜋/2). U_m = - I_m U_m ,sin-𝜔𝑡. (6-13)

Заменим =

Получим p = - U_mI_m/2 ∙ = - UI . (6-14)

Это выражение показывает, что кривая мощности изменяется по закону синуса, но с двойной частотой 2ω.

Рис. 71 Кривые мгновенных значений напряжения, тока и мощности для цепи, содержащей индуктивность.

Когда u и i имеют одинаковые знаки (рис.71 ), то кривая р положительна и располагается выше оси абсцисс. Если же u и i имеют разные знаки, то кривая р отрицательна и располагается ниже оси абсцисс.

В первую четверть периода ток, а вместе с ним и магнитный поток катушки увеличивается. Катушка забирает от источника энергии мощность. В это время энергия забираемая от источника идет на создание магнитного поля (мощность положительна). Количество энергии, запасаемое в магнитном поле за время роста тока, можно определить как :

(6-15)

За вторую четверть периода ток убывает. ЭДС индукции, которая в первую четверть периода стремилась помешать возрастанию тока, теперь, когда ток начинает убывать, будет мешать ему уменьшаться. Сама катушка становится как бы генератором электрической энергии. Она возвращает источнику энергию, запасенную в ее магнитном поле. Мощность отрицательна и кривая р располагается ниже оси абсцисс.

За вторую половину периода явление повторяется. Таким образом, между источником переменного напряжения и катушкой, содержащей индуктивность, происходит обмен мощностью. В течение первой и третьей четвертей периода мощность поглощается катушкой, в течение второй и четвертой четвертей мощность, в равной степени, возвращается источнику.

В этом случае, в среднем, расхода мощности не будет, несмотря на то, что на зажимах цепи есть напряжение U и в цепи протекает ток I.

Вычислим активную мощность за время равное периоду

P = 1/T