Электронная теория дисперсии
Рассмотрим в общих чертах, как происходит взаимодействие электромагнитных волн с веществом. Электрическое поле волны действует на заряженные частицы, из которых состоит вещество. Заметнее всего оно действует на электроны, чем на атомные ядра, так как масса ядра во много раз больше массы электрона. Переменное поле волны вынуждает электроны в атомах и молекулах вещества совершать колебания с частотой волны ω. Колеблющиеся электроны сами излучают электромагнитные волны, частота которых равна частоте колебаний электронов. Таким образом, падающая на вещество волна принуждает само вещество испускать волны той же частоты. Причем испускаемые веществом волны распространяются во всех направлениях. Некоторые из них движутся навстречу падающей волне. Это так называемые отраженные волны. Отраженная волна представляет собой суперпозицию волн, испущенных всеми атомами вещества. Но кажется, что падающая волна отражается от поверхности тела.
Точный расчет показателя преломления очень сложен. Поэтому в этой главе будет изложена теория дисперсии света, которая справедлива только для веществ с показателем преломления, близким к единице. Такими показателями преломления характеризуются, например, разреженные газы. В этом случае излучение самого вещества является достаточно слабым и его можно не учитывать.
Прежде чем исследовать воздействие электромагнитной волны на вещество, необходимо представить себе строение молекул, из которых состоит это вещество. Каждая молекула состоит из одного или нескольких положительно заряженных ядер и определенного количества электронов. Так как масса ядер велика по сравнению с массой электронов, смещением ядер можно пренебречь и считать, что подвижными частицами в молекуле являются только электроны. Электрон в молекуле удерживается в ее пределах некоторой силой. Самое простое выражение для такой силы имеет вид
F = -Kr, (15.2)
где r - радиус-вектор электрона; К - положительный коэффициент. Это есть центральная сила, притягивающая электрон к точке, в которой находится начало его радиус-вектора. Предположим, что движение электрона в молекуле можно описать посредством второго закона Ньютона
т r''=F .
В проекциях на ось у закон Ньютона с учетом формулы (15.2) можно записать так:
m у''= - К у.
Это уравнение удобно преобразовать к виду
у'' + ω0 2 у=0 (15.3)
где
ω0 2 =K/m
(15.4)
Уравнение (15.3) есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Таким образом, согласно принятой модели электрон в молекуле совершает гармонические колебания с частотой ω0 .
Рис. 15.2. Гармоническая волна вынуждает электрон в молекуле совершать колебания около положения равновесия
Пусть гармоническая линейно поляризованная электромагнитная волна распространяется вдоль оси х (рис. 15.2). Если вектор напряженности электрического поля этой волны направлен по оси у, то такая волна будет описываться функцией
Еу = Ет cos (ω t - к х),
где Ет - амплитуда волны, ω - ее частота.
На электрон, движущийся в электромагнитном поле со скоростью v, действует сила Лоренца
F =-е(E + [vB])(15.6)
Найдем отношение модулей сил(15.10)
Fe = - е E, Fm =- е [vB])
с которыми на электрон действуют магнитное и электрическое поля волны соответственно. С учетом соотношения (11.30) получим
Fm /Fe = v Bm/Em, =vμHm/Em = v√με=v/c
где
c = 1/√με
- скорость света. Так как скорость электрона в молекуле существенно меньше скорости света, действием на него магнитного поля волны можно пренебречь.
Итак, на электрон в молекуле, на которую падает электромагнитная волна, будут действовать две силы. Первая сила удерживает электрон в пределах1 молекулы, а вторая есть сила, с которой на него действует электрическое поле волны. Рассматриваемая молекула находится в начале координат. Поэтому проекция электрической силы на ось у будет
Fy = -e Ey(t, x = 0) = - е Ет cos ωt. (15.7)
При этом второй закон Ньютона в проекциях на ось у будет иметь вид
ту'' = К у- е Ет cos ωt.
Запишем это (15.8)уравнение так:
у'' + ω02 у =( е Ет/m) cos ωt (15.9)
Частное решение полученного уравнения, описывающее вынужденные колебания электрона под действием электромагнитной волны, есть гармоническая функция с частотой волны:
y(t) = A cosωt, (15.10)
где А - амплитуда вынужденных колебаний. Подставив эту функцию в уравнение (15.9), найдем амплитуду колебаний электрона в молекуле под действием переменного электрического поля волны:
A = е Ет/(m(ω2-ω02)) (15.11)
Согласно этой формуле в том случае, когда частота волны ω равна частоте ω0 собственных колебаний электрона, амплитуда его вынужденных колебаний становится бесконечно большой. Очевидно, что в действительности так быть не может. Однако продолжим вычисления.
Подставим выражение (15.11) в формулу (15.10). Получим следующую зависимость:
y(t) = ( е /(m(ω2-ω02))Ey(t). (15.12)
Как видно из этой формулы, под действием электрического поля волны электрон в молекуле смещается из положения равновесия вдоль направления вектора напряженности электрического поля. Векторной форме формула (15.12) имеет вид
r(t) = ( е /(m(ω2-ω02))E(t). (15.13)
Смещения электронов в молекуле из положений равновесия приводят к ее поляризации. Степень поляризации молекулы характеризуется электрическим дипольным моментом
(15.14)
где ri - радиус-вектор одного из электронов под номером i. Смещение электрона под действием электрического поля волны описывается формулой (15.13). Таким образом, для дипольного момента молекулы можно записать следующее выражение:
(15.15)
где ω0i - частота собственных колебаний i-го электрона в молекуле. Причем эта формула справедлива для любой молекулы вещества, где бы она ни находилась.
Если все молекулы вещества одинаковы, то поляризованность вещества, т.е. дипольный момент единицы объема, будет равен произведению дипольного момента одной молекулы на их концентрацию:
Р =пр.
Как видно из формул (15.15) и (15.16), вектор Рполяризованности вещества коллинеарен вектору Енапряженности электрического поля, т.е. справедливо соотношение (2.24)
Р = εоχеЕ ,
из которого найдем диэлектрическую восприимчивость вещества χе. Затем по формуле (2.27) найдем относительную диэлектрическую проницаемость:
εr = 1 +χе
В результате придем к формуле
(15.17)
Показатель преломления связан с относительной проницаемостью вещества соотношением (11.38)
n=√εr (15.18
Формулы (15.17) и (15.18) определяют искомую зависимость показателя преломления вещества от частоты электромагнитного излучения. График этой зависимости показан на рис. 15.3 для случая, когда частота собственных колебаний электронов принимает только два значения ω01 ,ω02
Рис. 15.3. Идеализированная зависимость показателя преломления от частоты электромагнитного излучения
Для всех прозрачных веществ частоты собственных колебаний электронов в атомах и молекулах больше частот видимого электромагнитного излучения. Так, например, для воздуха и многих других газов частоты собственных колебаний электронов соответствуют частотам ультрафиолетового излучения. Таким образом, для этих веществ в видимой части спектра ω < ω0i. Как видно из графика на рис. 15.3, при этих частотах показатель преломления будет больше единицы и является монотонно возрастающей функцией частоты ω. Частота фиолетового света больше, чем частота красного. Поэтому и показатель преломления фиолетового света больше, чем красного. По этой причине лучи фиолетового света отклоняются призмой сильнее, чем лучи красного света (рис. 15.1).
Развитая теория имеет существенный недостаток. Согласно этой теории в том случае, когда частота ω падающего на вещество излучения приближается к одной из частот ω01 собственных колебаний электронов, показатель преломления вещества стремится к ±оо. Разумеется, этот вывод теории лишен физического смысла. Указанный недостаток теории может быть исправлен, если учесть, что свободные колебания электронов должны быть затухающими, т.е. электрон, совершающий свободные колебания, должен постепенно терять свою энергию. В таком случае
амплитуда вынужденных колебаний электрона ни при каких частотах ω не будет бесконечной, а зависимость п = п(ω) показателя преломления от частоты волны будет подобна зависимости, график которой изображен на рис, 15.4. Из этого рисунка видно, что при некоторых частотах функция
п = п(ω) является возрастающей. Такую дисперсию называют нормальной. На тех частотных интервалах, где функция п = п(ω) убывает, дисперсию называют аномальной.
Рис. 15.4- Зависимость показателя преломления от частоты
По определению показатель преломления вещества есть отношение скорости света в вакууме с к скорости v электромагнитной волны в веществе:
п=c/v. (15.19)
Изображенная на рис. 15.4 зависимость показателя преломления от частоты такова, что при некоторых значениях частоты показатель преломления оказывается меньше единицы. Согласно формуле (15.19) волны с такими частотами распространяются в веществе со скоростью v, большей скорости света в вакууме: v > с. Этот результат требует некоторых пояснений,
Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 945;