Способы построения диагностических моделей

Способ построения ДМ во многом определяется видом модели. В связи с большим разнообразием ДМ электрооборудования существует множество различных способов их построения. Однако эти способы можно сгруппировать, учитывая их направленность и особенности. Так, при построении непрерывной ДМ предусматривается большое число способов упрощения дифференциального или алгебраического сравнения высокого порядка, описывающего диагностируемое оборудование, до порядка, позволяющего описывать процессы с допустимой погрешностью.

Упрощение передаточной функции.Если оборудование описывается передаточной функцией вида:

,

то ДМ может быть получена разложением передаточной функции (15.1) в цепную дробь по следующей процедуре:

,

где составляющие W_i(p) определяются в результате деления полинома на полином в следующей последовательности:

и.т.д.

На каждом шаге разложения передаточной функции в цепную дробь можно оценить получаемую погрешность, если в качестве ДМ использовать полученные выражения, отбросив остаток:

; ;

и.т.д.

Пример. Оборудование описывается передаточной функцией вида

. (15.3)

Построить ДМ, разложив передаточную функцию в цепную дробь, сделав два шага, и оценить погрешность при отбрасывании остатка на каждом шаге.

Представим числитель и знаменатель выражения (15.3) в виде полиномов

Произведем соответствующие операции деления:

1-й шаг

2-й шаг

Получим в соответствии с (15.2) передаточную функцию

,

которую и будем рассматривать как ДМ. Погрешность, допускаемая при этом, будет

.

Соответственно, погрешность по модулю будет

и по фазе

.

Рассчитаем и для различных :

,с-1...0	0,2	0,47	1,0	2,0	4,0	8,45
...9	-	-		0,56	-	-	0,01	-
...0	-41	90	+41		-41	90	+80	+9

Графические зависимости для этих данных и приведены на рис.15.20.

Усечение характеристического уравнения.
Если характеристическое уравнение, описывающее оборудование, имеет высокий порядок, то в качестве ДМ можно использовать упрощенное характеристическое уравнение, получаемое усечением исходного, т.е. исключением из рассмотрения некоторых его членов. При этом рассматривается процесс построения последовательности х_i, , сходящейся к корню х полного характеристического уравнения f(x) = 0. В качестве нулевого приближения берется корень усеченного уравнения . Если такой процесс сходится к корню уравнения f(x) = 0 и возможна оценка погрешности его приближения, то уравнение можно использовать как ДМ.

При построении модели применяется итерационный способ Ньютона, дающий следующие формальные итерации:

х_о – произвольное число;

х₁ = х_о – f(x_о)/f'(x_о);

х_n+1 = х_n – f(x_n)/f'(x_n).

Доказано, что если x_о – корень уравнения и существует такое число >0 (не отрицательное), что в окружности радиуса число удовлетворяет неравенству, ; , то существует х – корень уравнения f(x)=0 такой, что .

Таким образом, соблюдение этого условия означает возможность приближения с точностью корня х полного характеристического уравнения f(x) = 0 к корню x_о усеченного уравнения f(x) = 0. При этом, если корни x₁,х₂,...,х_n малы, то усечение нужно осуществлять слева, а если велики, то справа.

Пример.Оборудование описывается дифференциальным уравнением, которое имеет характеристическое уравнение:

р³ + 4,9р² + 6,5р - 0,7 = 0

Корни характеристического уравнения соответственно равны

р₁ = 0,1; р_2,3 = 2,45 0.7, a = 0.2.

Необходимо построить ДМ оборудования, усекая характеристическое уравнение. Ориентироваться при этом нужно на большие корни, т.е. усекать уравнение справа.

Устранив один член из характеристического уравнения справа, получим усеченное уравнение:

р² + 4,9р + 6,5 =Q.

Для определения и возьмем производные

f'(p) = 3p² + 9,8p + 6,5; f"(p) = 6p + 9,8.

Тогда

После разложения по степеням р-р_о (р_о=х_о), получим:

.