Частотные оценки качества

В инженерной практике для оценки показателей качества и построения переходных процессов в системах автоматического управления получили распространение частотные методы, разработанные В.В.Солодовниковым [7].

Математической основой частотных методов, устанавливающих связь между частотными характеристиками системы и качеством переходного процесса, является обратное преобразование Лапласа. Как известно, переходный процесс в системе определяется по формуле обратного преобразования Лапласа:

. (6.20)

Установлено, что если на систему действует единичное задающее воздействие, т.е. g(t)=1(t), а начальные условия являются нулевыми, то реакцию системы, которая представляет собой переходную характеристику, в этом случае можно определить как

, (6.21)

, (6.22)

где P(w) - вещественная частотная характеристика замкнутой системы;

Q(w) - мнимая частотная характеристика замкнутой системы, т.е.

Ф_g(jw) = P(w)+jQ(w).

Выражения (6.21) и (6.22) и используются для оценок качества переходного процесса. Существует приближенный способ построения кривой переходного процесса в замкнутой системе по этим формулам с использованием h-функций.

Простейшими из частотных оценок качества переходного процесса являются запасы устойчивости, рассмотренные в разделе 5.5. Они определяют только степень близости замкнутой системы к границе устойчивости по виду частотных характеристик разомкнутой цепи.

Время регулирования и перерегулирование можно приблизительно оценить по виду вещественной частотной характеристики замкнутой системы (Рис.6.3). На основании зависимости (6.21) выведены следующие оценки. В переходном процессе получится перерегулирование s>18%, если P(w) имеет “горб”. При отсутствии “горба” будет s<18%. Процесс окажется наверняка монотонным (s=0), если dP/dw<0 и монотонно убывает по абсолютному значению. Время регулирования t_р оценивается приблизительно по величине интервала существенных частот w_су, причем

< t_р < . (6.23)

Рис.6.3. Вещественная частотная характеристика замкнутой системы

Интервал частот 0£w£w_п, в котором P(w)³0, называется интервалом положительности. Интервал частот 0£w£w_су называется интервалом существенных частот, если при w=w_су и далее при w>w_су величина |P(w)| становится и остается меньше 0,05P(0). Влиянием остальной части вещественной частотной характеристики (при w³w_су) на качество переходного процесса можно пренебречь. Если же при w>w_п оказывается, что |P(w)|<0,2P(0), то при оценке качества переходного процесса можно принимать во внимание только интервал положительности 0£w£w_п.

Важно отметить, что время t_р обратно пропорционально величине w_су, т.е. чем более растянута частотная характеристика, тем короче переходный процесс. Физически это связано с тем, что чем более высокие частоты “пропускает” система, тем она менее инерционна в своих реакциях на внешние воздействия.

Это же свойство позволяет связать время t_р с частотой среза w_с частотной характеристики разомкнутой системы. Длительность переходного процесса t_р тем меньше, чем больше частота среза w_с.

На основании расчетов переходных процессов по (6.21) В.В.Солодовников предложил оценивать величину перерегулирова-ния s% и время регулирования t_р в зависимости от величины максимума вещественной частотная характеристика замкнутой системы P_max, построив для этой цели номограммы (рис.6.4).

Кроме того, свойство частотных характеристик таково, что начальная их часть влияет в основном на очертание конца переходного процесса y(t), причем P(0)=y(¥). Основное же влияние на качество переходного процесса оказывает форма средней части частотной характеристики.

Рис. 6.4. Номограмма В.В.Солодовникова

В связи с этим логарифмическую частотную характеристику разомкнутой цепи системы делят на три области, причем область низких частот в основном определяет точность в установившемся режиме. Область средних частот в основном определяет качество переходного процесса. В частности, частота среза w_с, как уже говорилось, определяет полосу пропускания и длительность переходного процесса. Наклон ЛАХ вблизи частоты среза характеризует колебательность переходного процесса. Так, наклон -20 дб/дек при w=w_с соответствует свойствам апериодического звена, обеспечивает наименьшую колебательность переходного процесса в замкнутой системе.

Следующей частотной оценкой качества является показатель колебательности - максимальное значение M_max амплитудной частотной характеристики замкнутой системы

M_max = |Ф(jw)|_{max max}. (6.24)

Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем выше резонансный пик. Считается, что в хорошо демпфированных системах показатель колебательности не должен превосходить значений 1,1¸1,5.