Вырезания узлов

Вырезаем узел, где приложена активная сила F₃, и изображаем его на чертеже. Реакции S₁₁, S₁₂ растянутых стержней 11, 12 направлены от узла (рис. 1.53).

Система сил (F₃, S₁₁, S₁₂), действующая на узел, плоская сходящаяся. Аналитические условия равновесия такой системы сил выражаются системой уравнений:

Σ + Σ = 0 = – S₁₂ – S₁₁·cos(α) = 0; (1)

Σ + Σ = 0 = – F₃ + S₁₁·sin(α) = 0. (2)

из уравнения (2)

S₁₁ = F₃/sin(α) = 2/0,5 = 4,000 кН;

из уравнения (1)

S₁₂ = – S₁₁·cos(α) = – 4·0,866 = – 3,464 кН.

Так как значение S₁₁ > 0, а значение S₁₂ < 0, то стержень 11 растянут, а стержень 12 сжат.

Аналитический расчёт сразу же следует проверить графическим построением замкнутого силового многоугольника. Система сил (F₃, S₁₁,S₁₂) уравновешенная, поэтому силовой треугольник, построенный на силах F₃,S₁₁,S₁₂,должен быть замкнут. Силовой треугольник строится в выбранном масштабе (см. рис. 1.53). Построение начинается с известной силы F₃.На силовом многоугольнике определяется истинное направление реакций растянутых стержней.

Графическая проверка подтвердила, что стержень 11 растянут, а стержень 12 сжат.

Графическую проверку рекомендуется выполнять сразу же после аналитических расчётов, так как этим устраняются ошибки в последующих расчётах.

Вырезанный узел находится в равновесии под действием сходящейся системы сил (F₂, S₁₂, S₁₀, S₉). Необходимо ещё раз отметить, что реакции растянутых стержней направляются от узла. Аналитические условия равновесия вырезанного узла выражаются системой уравнений:

Σ + Σ = 0 = – S₉ + S₁₂ = 0; (1)

Σ + Σ = 0 = – F₂ + S₁₀ = 0. (2)

Из уравнения (1) S₉ = S₁₂ = – 3, 464 кН < 0;

из уравнения (2) S₁₀ = F₂ = 9,000 кН > 0.

Таким образом, стержень 9 сжат, а стержень 10 растянут. Этот расчёт проверяется графическим построением силового многоугольника (см. рис. 1.54).

Необходимо отметить, что построение силового многоугольника начинают с известных сил F₂ и S₁₂, а точка пересечения линий действия реакций S₉, S₁₀ определит их направление и модуль. При этом если известно, что стержень сжат (стержень 12), то его реакцию (S₁₂) направляют к узлу.

Графическое построение подтвердило правильность проведенных расчётов.

Определение остальных реакций S_i растянутых стержней проводится аналогичным способом. Результаты вычислений сводятся в таблицу.

Таблица

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы могут оказаться нулевыми. Такие стержни принято называть нулевыми.

Рассмотрим леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни плоской фермы, не производя её расчета.

Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в первых стержнях равны между собой (рис. 1.56).

Форма 1:

Σ M_(I)(F_i^E) + Σ M_(I)(R_i^E) = 0;

Σ M_(II)(F_i^E) + Σ M_(II)(R_i^E) = 0;

Σ M_(III)(F_i^E) + Σ M_(III)(R_i^E) = 0.

Форма 2:

Σ M_(I)(F_i^E) + Σ M_(I)(R_i^E) = 0;

Σ M_(II)(F_i^E) + Σ M_(II)(R_i^E) = 0;

Σ + Σ = 0.

5. Из этих уравнений равновесия находят неизвестные реакции растянутых стержней.

На рис. 1.58 изображена ферма и одна из её отрезанных частей.

Поскольку разрезанные стержни не параллельны, то имеется три точки Риттера (точки I, II, III). В этом случае для определения реакций растянутых стержней используется первая форма уравнений равновесия.

Σ M_(I)(F_i^E) + Σ M_(I)(R_i^E) = 0 =

= – F₂·b– F₃·2·b + S₇·2·b·sin(α) = 0; (1)

S₇ = = = 13,000 кН.

Σ M_(II)(F_i^E) + Σ M_(II)(R_i^E) = 0 = – F₃·b – S₉·b·tg(α) = 0; (2)

S₉ = – = – = – 3,464 кН.

Σ M_(III)(F_i^E) + Σ M_(III)(R_i^E) = 0 = – F₃·b + S₈·2·b·sin(α) = 0; (3)

S₉ = = = 2,000 кН.

Если в сечении фермы стержни параллельны, то используется вторая форма уравнений равновесия, так как имеется только две точки Риттера (рис. 1.59).

Согласно определению (точки Риттера), точка (I) Риттера находится в месте пересечения линий действия векторов S₅, S₆, а точка (II) Риттера расположена в месте пересечения линий действия векторов S₆, S₇.

Дано: F₁ = 2 кН; F₂ = 5 кН; F₃ = 10 кН; b = 2 м; α = 45^о.