Аналіз ступеня вільності механізму. Наведемо визначення механізму, враховуючи нові поняття.

Механізмом називається такий кінематичний ланцюг, у якому при заданому русі однієї чи декількох ланок відносно будь-якої з них всі інші ланки здійснюють однозначно визначені рухи.

Як видно з визначення, у будь-якому механізмі є ланка (або декілька ланок), рух яких є заданим. Виникає запитання - скільки незалежних рухів можна задати даному механізму? Як було сказано, ступінь вільності механізму характеризує число ступенів вільності його кінематичного ланцюга відносно стояка. Отже, якщо механізм має один ступінь вільності, то одній з ланок механізму треба задати рух; при цьому всі інші ланки механізму отримують цілком визначені рухи, що є функціями заданого. Таким чином, для визначеності рухів усіх ланок механізму, який утворений кінематичним ланцюгом з одним ступенем вільності, необхідно і достатньо мати заданим закон руху однієї з ланок. Якщо механізм має два ступені вільності, то необхідно задати одній з ланок два незалежних рухи або двом ланкам по одному незалежному руху. Отже, ступінь вільності механізму вказує на число незалежних рухів, які треба задати в механізмі, щоб рух усіх інших ланок був цілком визначеним.

Зазначимо, що при нульовому ступені вільності ні одна з ланок не може рухатися відносно нерухомої ланки і кінематичний ланцюг перетворюється в ферму.

Кожна з незалежних між собою координат, що визначає положення всіх ланок механізму відносно стояка, називається узагальненою координатою механізму. За узагальнену координату приймається кут повороту або лінійне зміщення ланки.

Ланка, якій приписується одна чи декілька узагальнених координат називається початковою ланкою. Цей термін пов’язаний з тим, що знаходження положень усіх ланок механізму починають з побудови положень початкової ланки. Вибір початкової ланки визначається зручністю визначення положень ланок механізму та зручністю його аналізу. Початкові та вхідні ланки можуть як збігатися, так і не збігатися.

Число узагальнених координат механізму також визначається ступенем вільності механізму. Кожний незалежний рух визначається заданням закону зміни однієї узагальненої координати (кутової або лінійної).

Кривошипно-повзунний механізм (рис. 1.1) має ступінь вільності рівний одиниці, тобто W=1. Отже, для визначеності руху всіх ланок механізму треба задати йому один рух або треба мати заданою одну узагальнену координату. Нехай задано закон обертання ланки 1 у вигляді функції = ( t ), де – кут повороту кривошипа 1. В цьому разі всі інші ланки будуть мати цілком визначений рух. Ланка 1 механізму буде вхідною (початковою). Нагадаємо, ланка (ланки) механізму, якій надається рух, що перетворюється в потрібний рух інших ланок механізму, називається вхідною ланкою.

Ступінь вільності механізму визначає число вхідних (початкових ) ланок, тобто кількість ланок, яким необхідно задати рух, щоб усі інші ланки рухались цілком визначено.

Зазначимо, що, в основному, в конструкціях машин і приладів використовуються механізми з одним ступенем вільності. Значно рідше знаходять застосування механізми з двома та більше ступенями вільності. До таких конструкцій відносяться, наприклад, диференціали автомобілів, маніпулятори.

Пасивні (зайві) умови зв’язку. Необхідно зазначити, що під час дослідження структури механізму можуть виявитися умови зв’язку та ступені вільності, що не впливають на характер руху механізму в цілому. Такі умови зв’язку називають пасивними, а ступені вільності – зайвими, оскільки їх можна вилучити без зміни загального характеру руху механізму.

Розглянемо для прикладу важільний п’ятиланковий механізм подвійного паралелограма, що на практиці зустрічається у вагових механізмах, швейних двоголчастих машинах, спарниках тепловозів та електровозів (рис. 1.8, а). При значних навантаженнях ланки можуть недопустимо деформуватися. Крім того, шарнірний паралелограм, переходячи через своє граничне положення, може перетворитися в антипаралелограм. Для позбавлення цих недоліків в конструкцію механізму вводять додатковий шатун EF. При цьому розміри ланок задовольняють умови АВ = СD, АD = ЕF = ВС, АЕ = ВЕ і DF = FС.

З урахуванням другого шатуна ступінь рухомості механізму паралелограма

W = 3n-2р₅-р₄ =3·4-2·6 = 0,

Рис. 1.8

тобто, згідно з розрахунком, такий кінематичний ланцюг не має рухомості, а є фермою. Насправді, як це підтверджує практика, у разі приведення в рух кривошипа АВ (чи іншої ланки) усі ланки даного кінематичного ланцюга мають цілком визначені рухи. Отже, це механізм, а кінематичні пари Е та F і зв’язки, накладені ними на ланки, не впливають на рух механізму в цілому.

Додаткові в’язі, що не впливають на рух механізму в цілому та на закон руху веденої ланки, називають пасивними (зайвими). Пасивні в’язі дублюють інші в’язі, не зменшуючи рухомість механізму, а лише перетворюють його у статично невизначену систему.

Виконуючи структурний, кінематичний аналіз, пасивні в’язі треба вилучати; умовно відокремимо шатун ЕF від механізму. Тоді ступінь вільності механізму буде таким, як і є насправді, рівним одиниці

W=3 3-2 4=1

Зазначимо, що пасивні зв’язки існують при виконанні певних геометричних співвідношень в механізмі; введення додаткового шатуна ЕF лише за умови ЕF = АD не внесе нових зв’язків і число ступенів вільності залишиться рівним одиниці. Якщо ж точність виконання вказаних геометричних співвідношень виявиться недостатньою, наприклад, АЕ FD, то відстань ЕF вже не буде рівною AD і рух стане неможливим, тобто число ступенів вільності дійсно буде рівним нулю.

Отже, в загальне число накладених умов зв’язку може ввійти деяке число додаткових (пасивних) в’язей. Ступінь вільності просторового механізму з урахуванням пасивних зв’язків визначається за наступною формулою Сомова-Малишева

(1.3)

де q – число пасивних (зайвих) в’язей.

У загальному випадку розв’язати рівняння (1.3) з двома невідомими (W, q) є важкою задачею. Проте, коли ступінь вільності механізму знайдено з геометричних міркувань, то з (1.3) можна знайти число пасивних зв’язків.

Для плоского механізму формула Чебишева з урахуванням пасивних зв’язків матиме вигляд

W_п = 3n-2р₅-р₄+q

індекс “п” звертає увагу на те, що мова йде про ідеально плоский механізм або, точніше, про його плоску схему. Реальні плоскі механізми, через неточності виготовлення, у деякій мірі є просторовими.

Механізми, які мають зайві зв’язки, є статично невизначеними; якщо q = 0 - механізм статично визначена система. Якщо пасивних умов зв’язку немає, механізм складається без деформації ланок, останні ніби самовстановлюються; такі механізми називаються самовстановлюючими або раціональними. Якщо пасивні в’язі існують (q 0), то механізми потребують підвищеної точності виготовлення. При недостатній точності у процесі складання ланки механізму деформуються, що викликає навантаження кінематичних пар і ланок значними додатковими силами; тертя в кінематичних парах може значно збільшитися. Тому з цієї точки зору пасивні в’язі в механізмах небажані.

Але в цілому ряді випадків необхідно свідомо проектувати та виготовляти статично невизначені механізми із залишковими в’язями для забезпечення потрібної міцності та жорсткості системи, для кращого розподілу навантажень, особливо при передачі великих сил. Так, наприклад, для колінчатого вала чотирициліндрового двигуна (рис. 1.8, б), з точки зору кінематики механізму з одним ступенем вільності, повністю достатньо однієї опори А з обертовою кінематичною парою V класу. Але, враховуючи велику довжину вала і значні зусилля, що навантажують колінчатий вал, вводять ще дві опори А^/ і А^//; інакше система буде нероботоздатною з причини недостатньої жорсткості та міцності. Для такої конструкції необхідно забезпечити високу точність виготовлення, особливо співвісність усіх трьох опор, інакше вал буде деформуватись, і в матеріалі вала та вальницях можуть з’явитися недопустимо великі напруги. Зазначимо, що розрізняють пасивні умови зв’язку в кінематичних ланцюгах механізму – зайві контурні зв’язки, та – в кінематичних парах – локальні зв’язки (відповідно перший та другий розглянуті приклади).

Зайві ступені вільності. Розповсюдженим прикладом зайвих ступенів вільності є обертання роликів на їх осях. Як приклад розглянемо кулачковий механізм з роликовим штовхачем (рис. 1.6).

Ступінь вільності кулачкового механізму за формулою Чебишева

W=3n-2p₅-p₄=3·3-2·3-1=2.

Виходячи з того, що W=2 можна зробити висновок, що у механізмі має бути дві вхідні ланки. Проте, очевидно, що для визначеності руху штовхача достатньо задати лише один рух кулачку. Зайвий ступінь вільності створює ролик. Він може обертатися навколо своєї осі, не впливаючи на характер руху всього механізму. Кінематика механізму не зміниться, якщо ролик вивести, а профіль кулачка виконати по еквідістанті (штрихова лінія на рис. 1.6). Ролик являє собою конструктивний елемент, який зменшує сили тертя і спрацювання ланок.

В подальшому, при вивченні руху ланок механізмів, будемо припускати, що всі зайві умови зв’язку попередньо вилучені.