Критерии гидродинамического подобия

Рассмотрим условия, которые должны быть выполнены для динамического подобия потоков жидкости. Движение жидкости в природе совершается под действием различных сил, которые можно приближенно классифицировать на три группы:

1) внешние силы по отношению к жидкости, например, силы тяжести, инерции, силы, обусловленные перепадом давления;

2) силы, связанные с физическими свойствами самой жидкости, такие, как силы вязкости или силы поверхностного натяжения;

3) результирующие силы типа силы сопротивления воды движению тела или силы воздействия жидкости на гидротехническое сооружение.

Каждая из этих сил выражается через физические величины (размерные коэффициенты), характеризующие природу сил и жидкости. Влияние указанных сил проявляется в неодинаковой степени в различных явлениях. Одни явления протекают под преобладающим действием сил тяжести и сопротивления, другие – сил тяжести, со противления и поверхностного натяжения или только сил тяжести и поверхностного натяжения и т.д.

Условия гидродинамического подобия модели и натуры требуют равенства на модели и в натуре отношений всех сил, под действием которых протекает явление.

Для установления условий (критериев) гидродинамического подобия необходимо рассмотреть дифференциальные уравнения движения, описывающие изучаемое явление. Предполагая, что два потока, обтекающие тело, будут гидродинамически подобны, эти потоки должны принадлежать к одному классу уравнений, т.е. описываться однотипными уравнениями.

Движение вязкой несжимаемой жидкости, которое мы будем рассматривать, записывается системой дифференциальных уравнений Навье – Стокса [85]

(8.7)

где X, Y, Z – проекции вектора напряжения массовых сил на оси координат.

Эти уравнения являются математическим выражением равновесия внешних сил, приложенных к жидкости (например, сил тяжести), сил инерции, сил давления и сил внутреннего трения (сил вязкости).

Левые части уравнений (8.7) представляют собой проекции полных ускорений, которые в развернутом виде определяются следующими выражениями:

(8.8)

Для установившегося движения жидкости частные производные равны нулю.

Подставим в уравнение Навье – Стокса значения полных ускорений

(8.9)

(8.10)

На основе анализа уравнений Навье – Стокса, записанных в форме (8.8), получим основные критерии подобия вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку два подобных явления различаются между собой только лишь постоянными множителями для каждой одноименной величины (константами подобия), можно перейти от уравнений справедливых для натурного потока, к уравнениям, относящимся к модельному потоку, умножая каждую величину, входящую в уравнение (8.8) на соответсвующую константу подобия.

Введем следующие обозначения констант подобия: l_u – масштаб скоростей; l_t – масштаб времени; l_q – масштаб массовых сил; l_P – масштаб сил давлений; l_e – масштаб длин и линейный масштаб; l_n – масштаб коэффициента кинематической вязкости; l_r – масштаб плотности.

Эти константы называют масштабом подобия.

Для анализа возьмем одно из уравнений (8.9), например, урав нение движения в проекции на ось OZ. Для натуры имеем

(8.11)

Для того чтобы это уравнение описывало движение модельного потока, умножим уравнение (8.11) на соответствующие масштабы подобия

(8.12)

Для подобных явлений системы уравнений (8.11) и (8.12) должны быть тождественны. Они будут тождественны, если коэффициенты при членах дифференциального уравнения (8.12), составленные из масштабов подобия, будут равны между собой, т.е.

(8.13)

Разделив каждый из членов равенства (8.13) на , получим

(8.14)

Записав каждое из уравнений (8.14) в отдельности и переходя от масштабов подобия к критериям подобия, получим следующие соотношения:

(8.15)

Следовательно, достаточным условием динамического подобия течения вязкой несжимаемой жидкости является выполнение четырех соотношений (8.15) для любых двух соответственных точек.

Каждый из членов равенства (8.15) есть безразмерное число и представляет собой критерий подобия. Более удобно для практических целей пользоваться обратными значениями безразмерных величин, входящих в уравнение (8.15), что, конечно, не меняет смысла этих уравнений. Таким образом, в качестве критериев гидродинамического подобия запишем следующие безразмерные числа:

число Фруда (критерий Фруда)

(8.16)

число Рейнольдса (критерий Рейнольдса)

(8.17)

число Эйлера (критерий Эйлера)

(8.18)

число Струхаля (критерий Струхаля)

(8.19)

Рассмотрим физический смысл введенных чисел. Записанное соотношение (8.13) можно представить в форме определяющих параметров

При переходе к безразмерной форме необходимо это равенство разделить на множитель характеризующий силы инерции, т.е. производим деление сил различной природы на силы инерции. Поэтому безразмерные числа соответственно характеризуют отношения: число Фруда – сил тяжести к силам инерции; число Эйлера – сил давления к силам инерции; число Рейнольдса – сил вязкости к силам инерции.

Число Струхаля характеризует инерционные гидродинамические силы, возникающие при нестационарном движении жидкости.

Перечисленные критерии подобия (условия подобия) зависят от природы сил, действующих на модель и натуру. Так как движение жидкости совершается под совокупным действием различных сил – силы давления, трения (сопротивления), тяжести, инерции, поверхностного натяжения, то для соблюдения динамического подобия необходимо выполнить одновременно подобие всех сил различной природы, т.е. выдержать все критерии подобия.

Каждое из этих равенств выражает условие динамического подобия лишь для определенной категории сил, действующих в жидкости, поэтому каждое равенство в отдельности выражает условие частичного динамического подобия для соответствующих сил.

Практическая и физическая невозможность одновременного выполнения условий полного подобия заставило исследователей искать частные критерии подобия, выражающие условия подобия в случае, когда в качестве преобладающей выступает одна из действующих сил.

(8.20)

При установлении правил моделирования необходимо дать оценку "удельного веса" отдельных категорий сил в изучаемом явлении и моделирование производить по превалирующим силам. Например, при исследовании законов гидравлических сопротивлений трубопроводов главную роль играют силы трения. При исследовании протекания жидкости через водосливы превалирующими силами являются силы тяжести и т.д.

Иногда исследователь вынужден устанавливать "масштабные поправки", т.е. коэффициенты перевода по тому или иному критерию данных лабораторных исследований на натуру.

Во всех перечисленных случаях подобие между моделью и натурой является приближенным, а степень приближения зависит от искусства экспериментатора и подлежит количественной оценке на основе специально выполненных опытов.

Рассмотрим гидродинамическое подобие в случае преобладающего влияния одной из действующих сил.