Задача 2.12.

Техническая система состоит из n блоков, надежность каждого из которых равна р. Выход из строя хотя бы одного блока влечет за собой выход из строя всей системы.

С целью повышения надежности системы производится дублирование, для чего выделено еще n таких же блоков. Надежность переключающих устройств равна единице.

Определить, какой способ дублирования дает более высокую надежность системы:

а) дублирование каждого блока

б) дублирование всей системы

Решение.

Надежность Р_А системы, дублированной по способу а), определяется по формуле:

.

Надежность Р_Б системы, дублированной по способу б), имеет вид:

Покажем, что при любом n и 0 < p < 1 выполняется неравенство Р_А > Р_Б

Поскольку:

то достаточно доказать неравенство:

Положим , тогда исследуемое неравенство примет вид:

Применяя формулу бинома, и замечая, что все отрицательные члены разложения взаимно уничтожаются, получим:

Что и доказывает справедливость неравенства, а вместе с ним и заключение о более высокой надежности системы при дублировании каждого элемента в сравнении с дублированием всей системы.