Теоретичні відомості і методичні вказівки. Функції, задані в нормальної дизюнктивній чи конюнктивній формі, реалізуються дворівневими схемами

Функції, задані в нормальної дизюнктивній чи конюнктивній формі, реалізуються дворівневими схемами. Перший рівень реалізує добутки чи суми змінних, а друга - відповідно суми минтермів чи добутки макстермів. Дворівневі схеми кращі по швидкодії, що внаслідок інерційності логічних вентилів пропорційно числу рівней. Однак в інженерній практиці приходиться по різних причинах звертатися до багаторівневих схем.

Багаторівневі реалізації

Характерним прикладом багаторівневих схем може служити реалізація функції, що забезпечує перевірку на парність набору з змінних. Вона дорівнює одиниці тоді і тільки тоді, коли число одиничних значень вхідних змінних непарне і виражається як сума по модулі 2: . Реалізація цієї функції дворівневою схемою при значному числі нереальна, тому що треба було б вентилів І на входів кожен і один вентиль АБО на входів. Це випливає з того, що серед наборів значень змінних завжди половина непарних, і канонічна форма функції містить мінтермів. До того ж вона не мінімізується, тому що не містить ні однієї пари мінтермів що склеюються (на карті Карно відзначені комірки розташовуються в шаховому порядку). У той же час дана функція реалізується багаторівневою схемою, що складається з двовходових вентилів виключне АБО, що виконують операцію сума по модулю 2, причому для функції змінних таких вентилів потрібно ( ). Відповідна схема при показана на рис. 3.7,а. Реалізація в булевом базисі вимагає заміни вентилів виключне АБО що відповідають булевими еквівалентами - диз'юнктивними (рис. 3.7,6) чи кон'юнктивними (рис. 3.7,в). В результаті функція реалізується двовходовими вентилями І і АБО разом з вентилями НІ, причому усего потрібно логічних вентилів і інверторів.

Факторизація

У загальному випадку врахування реальних обмежень на навантажувальні здібності джерел вхідних і внутрішніх змінних і на коефіцієнти розгалуження кон‘юнкторів передує синтезу логічної схеми в бульовому базисі і називається факторизацією. Цей процес формалізується за допомогою таблиці импликант , що покривають дану функцію і відповідають мінтермам диз'юнктивної нормальної форми . Таблиця містить стовпців для змінних і їхніх інверсій, а також рядків для імплікант. Наприклад, для функції вона виглядає в такий спосіб:

При заданому коефіцієнті нагружения факторизації підлягають джерела змінних, що мають більше виходів. Для цього необхідно в таблиці імплікант зі стовпця факторизуємої змінної перенести по тим же рядкам надлишкові одиниці в додаткові стовпці так, щоб число одиниць у кожнім з них було не більше . Такі стовпці відповідають додатковим вентилям, що повинні бути зв'язані з даним джерелом. Для врахування цих зв'язків необхідно додати до таблиці відповідну кількість рядків і записати в них по стовпцю факторизуємої змінної одиниці. При приведена вище таблиця перетвориться до виду:

Тут зі стовпця перенесені в додатковий стовпець три одиниці і додано рядок з одиницею в стовпці . Це відповідає перетворенню джерела змінної , як показано на рис. 3.10, а, де через , позначений додатковий вентиль, що розмножує дану змінну . Факторизація входів при заданому коефіцієнті розгалуження здійснюється аналогічно розподілом надлишкових одиниць по додаткових рядках. Так, у розглянутому прикладі при заданому таблиця імплікант перетвориться до виду:

Рис. 3.10

Тут з рядка перенесені чотири одиниці в додатковий рядок , а в першому рядку додаткового стовпця занесена одиниця. Це відповідає перетворенню вентиля з п'ятьма входами, як показано на рис. 3.10 б. Перетвореній таблиці відповідає комбінаційна схема, приведена на рис. 3.10.в. Інший варіант багатоступінчастої реалізації можна одержати за допомогою перетворення функції до скобкової форми:

Базиси І-НІ та АБО-НІ

Внаслідок функціональної повноти функцій Шеффера і стрілки Пірса (див. табл. 3.2) реалізуючі їх вентилі І-НІ чи АБО-НІ можуть представляти будь-яку бульову операцію І, АБО, НІ і у такий спосіб самостійно утворити базис, у якому реалізується будь-яка логічна функція. Це доцільно з двох точок зору. По-перше, при проектуванні логічних схем можна обійтися одним єдиним типом вентиля, що дозволяє гранично уніфікувати цей процес. По-друге, для більшості серій ТТЛ- і КМОНП-логік вентиль І-НІ, як і АБО-НІ, є базисним і кращий у багатьох відносинах. Внаслідок цього реалізація логічних схем у базисах І-НІ і АБО-НІ одержала широке поширення в практиці.

Бульові операції І, АБО, НІ виражаються через штрих Шеффера співвідношеннями

Рис. 3.11

Звідси випливає, що вентиль І-НІ, таблиця відповідності якого дана на рис.3.11,а, еквівалентний вентилю АБО-НІ (див. табл. 3.3) і дозволяє реалізувати бульові операції, як показано на рис. 3.11,б-г. Для реалізації інверсії маються два варіанти: або на усі входи вентиля І-НІ подається змінна , або на усі входи, крім входу , подається одиниця. Звичайно ці особливості на схемах відсутні і використовується спрощене представлення з одним входом (рис. 3.11, б).

Перехід до базису І-НІ здійснюється простіше всього для дворівневих схем І/АБО чи при завданні функції в стандартній формі суми мінтермів, що видно на простому прикладі (рис. 3.12). Вихідна схема в булевом базисі (рис. 3.12, а) перетвориться до такого виду (рис. 3.12, б), що пари інверторів виявляються з'єднаними послідовно і виконують подвійну інверсію сигналів. Після їхнього видалення схема, а вентилями І-НІ істотно спрощується (рис. 3.12, в) і по своїй структурі цілком збігається з вихідною схемою. Таким чином, для переходу від дворівневої схеми І-АБО до схеми в базисі І-НІ досить замінити усі вентилі вентилями І-НІ.

Рис. 3.12.