Сфералық геометрияның негізгі ұғымдары. Сфералық үшбұрыштар

Астрономияның көптеген мәселелерін шешу үшін аспандағы шырақтарға дейінгі қашықтықты анықтаудың қажеті жоқ. Астрометриялық өлшеулер үшін аспандағы шырақтардың көрінетін орнын оларға дейінгі бағытпен сипаттап, өзара орналасуын сол бағыттар арасындағы бұрыштармен анықтау жеткілікті. Мұндай өлшеулер жасауда аспанды белгілі бір сфера, ал аспандағы шырақтарды сол сфера бетінде орналасқан деп қарастырған ыңғайлы. Бұл сфераны аспан сферасы деп атайды, оның радиусын кез-келген деп алуға болады, бірақ есептеулерді жүргізу үшін оны 1 тең деп алуға ыңғайлы.

Осыдан астрометрияның көптеген мәселелерін шешу сфералық геометрияның әдістерімен жұмыс істеуге келіп тірелетіні түсінікті: аспан сферасы стереометрияда қарастырылатын сфераның барлық қасиеттеріне ие. Осылардың бізге қажетті болатын кейбіреулерін атап өтейік.

Сфераның ортасынан (центрінен) өтетін жазықтықтың сферамен қиылысу сызығы радиусы сфераның радиусына тең үлкен шеңбер болып табылады (1.1 сурет). Бұл шеңбермен шектелген осы жазықтықтың бөлігі үлкен дөңгелек деп аталады. Ол сфераны екі жартысфераға бөледі. Екі үлкен шеңбер диаметралды қарама-қарсы екі нүктеде қиылысады.

Сфера бетінде жатқан кез-келген екі нүкте арқылы үлкен шеңберді өткізуге болады (бұл тоқтам планиметрияның екі кез-келген нүкте арқылы түзуді жүргізуге болады деген аксиомасына баламалы). Аспан сферасының кез-келген екі нүктесі арасындағы қашықтықты сәйкес орталық радиус- векторлар арасындағы бұрышпен немесе осы екі нүкте арқылы өтетін үлкен шеңбер доғасымен өлшеуге болады. (Сфералық геометрияда бұл доға планиметриядағы түзудің орнына екі нүктені қосатын ұзындығы ең аз сызық болып табылады).

1.1 сурет – Сфералық геометрияның негізгі ұғымдары.

Аспан сферасын оның ортасынан өтпейтін жазықтықпен қиғанда кіші шеңбер шығады.

Сфералық үшбұрыш деп сфера бетіндегі үш үлкен шеңберлер доғаларынан құралған пішінді айтамыз (1.2 сурет). Сфералық үшбұрыштың бұрыштары ретінде оны құрайтын үлкен шеңберлердің жазықтықтары арасындағы бұрыштарды (мұндай бұрыштарды екіқырлы (екіжақты) деп атайды, 1.1 суреттегі j бұрышы) алады. Біз қарастыратын жағдайларда бұл бұрыштардың әр қайсысы 180º аспайды, ал үшбұрыш бұрыштарының қосындысы сәйкесінше 540º аспайды, бірақ 180º кем болмайды. Сфералық артық бұрыш s деп үшбұрыш бұрыштарының қосындысынан 180º алып тастағанда шығатын шаманы айтамыз:

(1.2.1)

Сфералық үшбұрыштың ауданы

, (1.2.2)

мұндағы R – сфера радиусы.

1.2 сурет - Сфералық үшбұрыш

Сфералық үшбұрыштардың қабырғалары үлкен шеңберлердің доғалары болғандықтан, оларды сол үшбұрыштардың бұрыштары тәрізді градустармен өлшеу қабылданған. Яғни сфералық үшбұрыштың қабырғасы болып табылатын доға ұзындығы оның ұштарын сфера центрімен (ортасымен) қосатын екі радиус-вектордың арасындағы бұрышпен өлшенеді. Сфералық үшбұрыштардың A бұрышына қарама-қарсы жатқан қабырғасын (доғасын) a деп, B бұрышына қарама-қарсы жатқан қабырғасын (доғасын) b деп, C бұрышына қарама-қарсы жатқан қабырғасын (доғасын) c деп белгілейік. Сонда сфералық үшбұрыштар үшін мына формулалар орындалады [1]:

(1.2.3)

(1.2.4)

, (1.2.5)

мұндағы (1.2.3) формула косинустар формуласы, (1.2.4) формула бес элементтер формуласы, ал үшінші формула синустар формуласы деп аталады. Осы үш қатынас сфералық үшбұрыштар мәселесін шешуде негізгі роль атқарады. Сфералық үшбұрыштың бір бұрышы тік болса, мысалы А=90º, жоғарғы қатынастардан мына формула шығаруға болады

. (1.2.6)