Теоретическая часть. Рассмотрим подробнее, как проводится теоретический анализ треков заряженных частиц, движущихся со скоростями

Рассмотрим подробнее, как проводится теоретический анализ треков заряженных частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света. Для этого необходимо рассмотреть основные положения динамики больших скоростей.

В 1905 г. Альберт Эйнштейн объяснил многие экспериментальные результаты, не укладывающиеся в рамки классической физики, в своей теории относительности. В основу первой части теории, названной специальной теорией относительности (СТО), Эйнштейн положил два постулата:

1. Никакими опытами внутри любой равномерно движущейся системы нельзя обнаружить, движется ли эта система или находится в состоянии покоя. Иначе говоря, нельзя обнаружить абсолютное движение тел.

2. Скорость света в вакууме, равная 3·10⁸ м/с, является постоянной величиной (не зависит от относительной скорости источника и наблюдателя).

Существует три взаимосвязанных аспекта СТО:

- электродинамика движущихся тел;

- теория пространства и времени;

- механика быстрых движений.

Нас будет интересовать третий аспект. Рассмотрим, как преобразуются выражения для импульса, скорости и кинетической энергии в случае больших скоростей.

В нерелятивистском случае (v<<с) второй закон Ньютона и закон сохранения механической энергии имеют вид:

; (8.1)

. (8.2)

Импульс и энергия Е_N определяются соответственно как и (сумма кинетической и потенциальной U энергии тела). Если работа сторонних сил над телом , то , а значит =const.

При и ( - импульс тела в начальный момент времени)

; (8.3)

; (8.4)

. (8.5)

При больших, релятивистских скоростях ( ) выражения (8.1) и (8.2) остаются справедливыми, но меняется определение импульса и энергии:

(8.6)

(8.7)

Для безмассовых частиц (фотонов, нейтрино), движущихся со скоростью света, выражения (8.6) и (8.7) становятся неопределенными и записываются иначе.

Поделив (8.6) на (8.7), получим формулу, связывающую энергию и импульс тела (частицы):

. (8.8)

С учетом того, что для фотона, например и , вместо (8.8) имеем

. (8.9)

Возведем (8.7) в квадрат и учтем (8.8):

. (8.10)

Для фотона m=0 и .

Формула (8.10) пригодна для всех тел (частиц), в том числе и для частиц с нулевой массой.

Кинетическая энергия в СТО определяется как разность полной энергии Е и энергии покоя :

. (8.11)

Представим релятивистский сомножитель в формулах (8.6) и (8.7) в виде степенного ряда:

Тогда выражения (6) и (11) можно представить в виде:

(8.12)

. (8.13)

Относительная погрешность при использовании в расчете ньютоновских формул:

; (8.14)

. (8.15)

Если относительная погрешность задана, то по формулам (8.14) и (8.15) можно рассчитывать наибольшую скорость v (или v/с), до которой можно пользоваться формулами ньютоновской механики (8.3)-(8.5).

Запишем теперь релятивистские формулы, соответствующие ньютоновским формулам (8.3)-(8.5). Возводя в квадрат левую и правую части выражения (8.6), имеем:

; .

Но релятивистский импульс, подобно ньютоновскому, при и линейно зависит от времени:

. (8.16)

Значит,

. (8.17)

С учетом формулы (8.10) получим

. (8.18)

Примерные графики, отвечающие соотношениям (8.3)-(8.5) (пунктир) и (8.16)-(8.18), показаны на рис. 8.1.

Рис. 8.1.

Из первого графика следует, что ньютоновский импульс, как и релятивистский, при постоянной силе может стать с течением времени сколь угодно большим. При t=t₁ в нерелятивистском случае v=с и далее при скорость возрастает до бесконечности.

Исследуем выражения (8.17) и (8.18). При . Используя известные формулы приближенных вычислений и , легко показать, что в начале движения, пока скорость остается много меньше скорости света, вместо формул (8.17) и (8.18) можно пользоваться формулами (8.4) и (8.5). При и , т.е. скорость не может превысить скорость света, а кинетическая энергия неограниченно возрастает, но несколько медленнее, чем в механике Ньютона.

Таким образом, механика Ньютона - это предельный случай релятивистской механики при , а при малых скоростях релятивистские формулы переходят в ньютоновские.

Рассмотрим теперь релятивистский аналог закона Ньютона - динамическое уравнение частицы, движущейся со скоростью, приближающейся к скорости света в вакууме.

Релятивистский аналог закона Ньютона можно получить из следующих соображений. Подставим в уравнение релятивистский импульс и возьмем производную по времени:

. (8.19)

Второе слагаемое в полученном уравнении умножим и разделим на с². С учетом релятивистского выражения для полной энергии имеем

Но изменение энергии в единицу времени равно работе внешней силы в единицу времени, т.е.

,

где - угол между векторами и .

С учетом сказанного перепишем (8.19) в виде

(8.20)

В общем случае оказывается, что векторы и не совпадают по направлению. Лишь в двух частных случаях :

1) и ;

2) и .

В первом случае уравнение (8.20) приобретает вид

(8.21)

Величина является мерой инертности в случае, если . Обозначив ее («поперечная масса»), приводим уравнение (8.21) к «ньютоновскому» виду:

. (8.22)

Во втором случае уравнение (8.20) примет вид

Или:

. (8.23)

Величина является мерой инертности, когда . Обозначим ее («продольная масса») и запишем уравнение (8.23) в «ньютоновском» виде:

.

При решении задач уравнение (8.20) часто записывают в проекции на нормаль и касательную к траектории:

,

.

В общем случае, когда угол между векторами и произвольный, вообще нельзя ввести скалярную величину, являющуюся коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением и называемую релятивистской массой. В таком случае вводится тензор масс, компоненты которого можно рассчитать по формуле:

,

где , , , = 1, 2, 3.

Как видим, продольная и две поперечные массы являются главными значениями этого тензора.

При , где m - масса покоя, т.е. ньютоновская масса, являющаяся мерой инертных свойств тела (частицы), одинаковая во всех ИСО.

Необходимо подчеркнуть, что продольная и поперечная масса не являются внутренними характеристиками частицы, а только лишь обозначениями коэффициента пропорциональности в формуле, связывающей ускорение и силу. Масса частицы инвариантна и не зависит от скорости.

Пусть теперь частица (q - заряд, m - масса) влетает со скоростью в однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям (рис. 8.2). Индукция магнитного поля равна . В этом случае на частицу действует магнитная сила Лоренца

.

Модуль этой силы . Направление определяется с помощью правила левой руки (рис 8.2). Поскольку , то эта сила не меняет скорость по направлению. И если скорость частицы приближается к скорости света, то для описания движения частицы следует использовать релятивистское уравнение (8.20) или, поскольку в данном случае , уравнение (8.21). В проекции на нормаль к траектории

(8.24)

Сокращая на и учитывая выражение для релятивистского импульса, получим формулу, связывающую импульс р с радиусом кривизны траектории R:

. (8.25)

Решая уравнение (8.24) относительно , можно выразить скорость частицы через радиус кривизны траектории:

. (8.26)

В тех случаях, когда , можно положить . Если это сильное неравенство имеет противоположный знак, то движение описывает ньютоновской механикой.