Ортодромия

На шаре линией кратчайшего расстояния является дуга большого круга (ДБК), которую называют ортодромией. В переводе с греческого языка ортос - прямой, дромос - проход, бег.
Через две произвольные точки шара В1 и В2 можно провести только одну ортодромию, так как плоскость ДБК проведена через три точки: В1, В2 и центр Земли.
Треугольник МВ1b1 прямоугольный, так как меридиан пересекается с экватором в точке M под углом 90°. Поскольку стороны этого треугольника являются дугами окружностей больших кругов, то решают его, используя формулы сферической тригонометрии.
Применяя к треугольнику МВ1b1 формулу тангенса катета прямоугольного сферического треугольника, можно записать

tg φ₁ = sin(λ₁ - λ₀) tg(90-K₀)

Это выражение справедливо для любой точки ортодромии, поэтому полученное выражение является ее уравнением:

tg φ = sin(λ₁ - λ₀) ctgK₀
где λ₀ и K₀ — параметры ДБК (λ₀ — долгота пересечения ДБК с экватором, Ko — направление ДБК в этой точке).
ДБК достигает максимальной широты в точке V, которая называется "вертекс". Вертексов два: один в северном полушарии (виден на рисунке), другой — в южном.
Координаты вертекса:

φ_V =90⁰ - K₀ λ_V= λ₀ +90⁰

Проанализируем полученные выражения с целью определения свойств ортодромии. Свойства ортодромии.
1. Из выражения λ_V= λ₀ +90⁰ и рисyнка видно, что меридиан вертекса является плоскостью симметрии ортодромии. То есть ортодромия пересекает каждый меридиан два раза в долготах: λi и λi'= 2λν — λi

2. Из выражения φ_V =90⁰ - K₀:
если Ko = 90° (270°), то ортодромия совпадает с экватором, если Ko = 0° (180°), то ортодромия совпадает с меридианом.
3. Из выражения tg φ = sin(λ₁ - λ₀) ctgK₀ видно, что если неоднократно изменять долготу λ на 360° (предположим, что совершается кругосветное путешествие по ортодромии), то правая часть уравнения не изменяется. Не изменится и левая часть — широта постоянна. Значит ортодромия пересекает каждый меридиан каждый раз в одной и той же точке. Ортодромия — замкнутая кривая.

4. Судоводителей особо интересует направление ортодромии, то есть угол K, под которым ортодромия пересекает меридианы (курс ортодромии). Видно, что K = f(φi,λi), т. е. курс ДБК зависит от координат точек A1 и A2. Следовательно, ортодромия пересекает все меридианы под различными углами:

Разность углов, под которыми ортодромия пересекает меридианы двух точек, называется схождением (сближением) меридианов и обозначается буквой γ (гамма) греческого алфавита:

γ = А₂ – А₁