Третья теорема двойственности (теорема об оценках).
Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают насколько денежных единиц измениться максимальная прибыль при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу, в случае если остается неизменной.
После того как оптимальное решение получено выявляется его чувствительность к определенным изменениям исходной модели, может представлять интерес, то как повлияет на оптимальное решение изменение запасов сырья в связи с этим необходимо получить ответы на следующие вопросы:
1. Увеличение объемов, какого вида ресурсов наиболее выгодно.
2. Насколько можно увеличить запас сырья для улучшения полученного оптимального значения целевой функции.
3. Целесообразность включения в план новых изделий.
Чувствительность решения к изменению запасов сырья.
Рассмотрим модель нашей задачи в матричной форме.
f(x) = cx max, где
х = (х1,х2,…,хn) – вектор неизвестных
с = (с1,с2,…,сn) – вектор коэффициентов при неизвестных в целевой функции.
, где - вектор свободных членов системы ограничений исходной задачи.
- матрица коэффициентов в системе ограничений.
Приведем задачу к каноническому виду, т.е. введем m дополнительных переменных.
Задача принимает вид
, где вектор неизвестных Х – будет теперь иметь размерность n+m, размерность матрицы А также измениться.
Пусть известен оптимальный план, разобьем наш вектор х на два подвектора
и х0 = 0
В первый включены неизвестные, вошедшие в базис оптимального решения, а вторые это свободные переменные, не вошедшие в базис.
Соответственно матрицу А тоже разобьем на две подматрицы А* размерность, которой (m m) матрица которую формируют столбцы соответствующие не нулевым неизвестным в оптимальном плане. А0 (m n) – ее формируют столбцы соответствующие нулевым неизвестным в оптимальном плане.
Так как , то остается
Пусть , тогда
Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска продукции Х.
Изменим размер выделенных ресурсов, т.е. дадим приращение вектору В, тогда мы получим
Это отношение определяет величину структурных сдвигов в выпуске продукции при изменении ограничений исходной задачи.
Из соотношений второй теоремы двойственности видно, что двойственные оценки тесным образом связаны с оптимальным планом исходной задачи, всякое изменении исходных данных прямой задачи может оказать влияние как на ее оптимальный план, так и на систему оптимальных двойственных оценок, поэтому чтобы проводить экономический анализ с использованием двойственных оценок нужно знать их интервал устойчивости.
Исходя из этого, мы имеем формулы дающие оценки нижних и верхних пределов устойчивости двойственных оценок при изменении каждого ограничения в отдельности, пределы уменьшения, т.е. нижняя граница, определяется по тем хк для которых
Пределы увеличения определяются по тем хк для которых
Определим интервал
При изменении запасов ресурса S1 в пределах от трех до 18-ти единиц двойственная цена на него не меняется.
Найдем интервал устойчивости второго ресурса S2.
При изменении запасов ресурса S2 в пределах от 4 до 24 единиц двойственная оценка его не изменяется.
Задача №1.
На сколько измениться объем прибыли, если запас первого ресурса увеличиться на 2 единицы.
По третьей теореме двойственности
S1 = 8 + 2 = 10
это изменение находиться в интервалах устойчивости двойственных оценок, поэтому можно воспользоваться теоремой об оценках.
Прибыль увеличилась на 0,8 денежные единицы.
Задача №2.
На сколько измениться объем прибыли, если запас первого сырья увеличиться на 5 единиц, а запас второго сырья уменьшиться на 3 единицы одновременно.
S1 = 8 + 5 = 13
S2 = 9 – 3 = 6
Оба изменения находятся в интервалах устойчивости двух оценок, поэтому можно воспользоваться теоремой об оценках
Объем прибыли увеличиться на 1,4 денежные единицы.
Задача №3. Целесообразность включения в план новых изделий.
Пусть в данной задаче предприятию были предложены на выбор 3 новых изделия, за счет которых можно было бы расширить номенклатуру выпускаемой продукции при тех же запасах ресурсов.
Нормы затрат ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции для этих изделий представлены в таблице.
Ресурсы | Обьективно-обусловленные оценки | Затраты ресурсов на 1 изделие | ||
Т3 | Т4 | Т5 | ||
S1 | 0,4 | |||
S2 | 0,2 | |||
Прибыль от реализации 1 шт. |
Третий товар
S1 = 8 – 4 = 4
S2 = 9 – 2 = 7
Данные значения попадают в интервалы устойчивости
Сравниваем полученные затраты с прибылью от реализации одного изделия
, затраты покрываются полученной прибылью, значит введение данного товара целесообразно.
Четвертый товар
S1 = 8 – 2 = 4
S2 = 9 – 7 = 2 – не попадает в интервал
Значит, сами оценки могут измениться, поэтому нельзя решать задачу, используя третью теорему двойственности.
Пятый товар
S1 = 8 – 1 = 7
S2 = 9 – 4 = 5
Данные значения попадают в интервалы устойчивости
, затраты превышают прибыль, значит включать в план пятый товар не целесообразно.
Дата добавления: 2015-05-13; просмотров: 1525;