Канонический вид квадратичных форм

 

Учитывая, что элементы матрицы квадратичной формы aij = j(ei, ej) мы можем заклю­чить, что элементы матрица квадратичной формы зависят от выбора базиса.

Если для формы j(х, х) в пространстве V существует базис в котором матрица j(х, х) имеет диагональный вид (т.е. aij = 0для i ¹ j), и следовательно форма j(х, х) записы­вается так то такой базис называется каноническим базисом j(х, х) в пространстве V а запись формы в этом базисе называется каноническим видом формы.

Постановказадачи: Для формы j(х, х) ¹ 0 найти базис, в котором форма имеет канони­ческий вид.

Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов) приведения формы к канони­ческому виду.

Пусть в некотором базисе форма имеет вид: .

1). Пусть aii = 0 ("i), но $aij ¹ 0. Не ограничивая общности можно считать, что а12≠ 0. Тогда и получим (в записи формы появились члены, содержащие квадраты координат).

2). $aii ¹ 0. Допустим, что а12≠ 0. Тогда:

.

При этом: .

Связь между координатами ξi и ηi позволяет установить векторы нового базиса .

Пример:

=

= = = .

При этом , т.е. .

Векторы нового базиса е1, е2, е3, е3, получаются из старых f1, f2, f3, f4так:

e1 = f1; e2 = 3f1 + 2f2; e3 = –2f1 + 0,5f3 + 0,5f4; e4 = 0,5f3 – 0,5f4.

Метод Якоби приведения формы к каноническому виду.

Пусть форма j(x, x) в базисе имеет матрицу А, где aik = j(fi, fk); и, при этом, главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля: D1¹0, D2¹0, D3¹0, …, Dn = detA ¹0 . Форма j(x, x) в базисе имеет вид: j(x, x) = . Требуется найти базис {e1, e2, …, en}, чтобы j(ei, ek) = 0 (i ¹ k). Векторы канонического базиса {e1, e2, …, en}, ищем из соотно­шений:

. (1)

Приэтом, нетрудно заметить, что ℒ(е1, е2, …, еn) = ℒ(f1, f2,…, fn). Отметим, что если j(ek, fi) = 0, i = 1, 2, …, k –1, то j(ei, ek) = 0 i = 1, 2, …, k –1. В счамом деле

j(ei, ek) = j(ek, ai1f1 + ai2f2 + … + aiifi) = 0.

Тогда коэффициенты aij будем искать из соотношений:

j(ek, fi) = 0 (j < k)

j(ek, fk) = 1. (*)

Тогда для коэффициентов разложения: ek = ak1f1 + ak2f2 + ak3f3 +…+ aknfn из условий (*),

получим систему уравнений :

j (ek,f1) = ak1j (f1,f1) + ak2 j (f2,f1) + ak3 j (f3,f1) + … … … + akk j (fk,f1) = 0

j (ek,f2) = ak1j (f1,f2) + ak2 j (f2,f2) + ak3 j (f3,f2) + … … … + akk j (fk,f2) = 0

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

j (ek,fk-1) = ak1j (f1,fk-1) + ak2 j (f2,fk-1) + ak3 j (f3,fk-1) + … … + akk j (fk,fk-1) = 0

j (ek,fk) = ak1j (f1,fk) + ak2 j (f2,fk) + ak3 j (f3,fk) + … … … … + akk j (fk,fk) = 1

Полученная система линейных уравнений имеет единственное решение, ибо ее определи­тель Δk ¹ 0. При этом получим, что: j(ek, ei) = 0 (k < i), и j(ek, ek) ¹ 0.

Запишем:

j (ek,ek) = ak1j (ek,f1) + ak2 j (ek,f2) + ak3 j (ek,f3) + … + akk-1j (ek,fk-1) + akk j (ek,fk) = akk.

Найти akk можем из системы уравнений, которая записана выше, по правилу Крамера:

akk = . Таким образом, форма j(x, x) в базисе имеет канонический вид:

j(x, x) = , где a11= , a22= , a33= , …, ann= . Здесь D0 = 1.

Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

Пусть форма: задана в базисе f1(2, 0, 0), f2(0, 1, 0), f3(0, 0, 1), а полярная ей билинейная форма имеет вид:

.

Матрица билинейной формы и соответствующей ей квадратичной формы равна: и ее главные миноры: D1 = 2; D2 = –1/4; D3 = –17/4. Векторы е1, е2, е3 ищем в виде:

e1 = a11f1 = ( a11,0,0 ), e2 = a21f1 + a22f2 = (a21, a22, 0), e3 = a31f1 + a32f2 + a33f = (a31, a32, a33).

Получаем:

а) j(e1, f1) = 1 Þ 2a11 = 1 ® a11 = Þ e1 ;

б) Þ е2(6, –8, 0);

в) Þ Þ

.

Получены векторы канонического базиса:

e1 = f1; е2(6, –8, 0) = 6f1 – 8f2; = (8f1 –12f2 + f3)

и в этом базисе форма j(х, х) имеет канонический вид:

.

 

 








Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 897;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.016 сек.