Опис експериментальної установки та методу дослідження. Зонна теорія твердих тіл дозволяє пояснити з єдиної точки зору існування металів, напівпровідників та діелектриків

Зонна теорія твердих тіл дозволяє пояснити з єдиної точки зору існування металів, напівпровідників та діелектриків, а також їх властивості. З’ясуємо, як залежить провідність металів та напівпровідників від температури.

Згідно із законом Ома в диференціальній формі

. (7.1.1)

Тут – густина електричного струму; – напруженість електричного поля в речовині; ρ – питомий опір; σ – провідність; e – заряд носія струму; n – концентрація; – їх швидкість. Звідси випливає, що провідність (питомий опір) визначається

, (7.1.2)

де – рухливість носіїв струму, стала величина (не залежить від u та E), яка визначається властивостями речовини.

З останнього виразу випливає, що температурна залежність провідності (питомого опору) визначається температурною залежністю концентрації носіїв струму та їх рухливістю.

У металах концентрація носіїв струму (електронів), як це випливає із зонної теорії твердих тіл, від температури не залежить. Рухливість електронів при достатньо високих температурах визначається їх розсіянням на теплових коливаннях кристалічної ґратки (фононах). Цей механізм приводить до такої залежності рухливості електронів у металах від температури:

. (7.1.3)

Унаслідок цього залежність опору металів від температури виявляється лінійною:

. (7.1.4)

Таблиця 7.1.1

Цей вираз можна звести до вигляду

, (7.1.5)

де R₀ – опори металу при нульовій за Цельсієм температурі; t – температура за Цельсієм; α – температурний коефіцієнт опору.

Таким чином, зі зростанням температури опір металу лінійно збільшується. Значення температурного коефіцієнта опору для деяких хімічно чистих металів наведені в табл. 7.1.1.

У власних напівпровідниках провідність здійснюється як електронами, так і дірками. З урахуванням цього вираз для провідності можна записати у вигляді

, (7.1.6)

де n_e = n_p = n – концентрації електронів і дірок у власному напівпровіднику; μ_e, μ_p – рухливості відповідно електронів і дірок. На відміну від металів у напівпровідниках концентрація вільних носіїв заряду, як це випливає із зонної теорії твердих тіл, істотно залежить від температури. З підвищенням температури число носіїв, перекинутих з валентної зони в зону провідності внаслідок теплового збудження, експоненціально зростає:

, (7.1.7)

де N_C, N_V – сталі, що називаються ефективною густиною станів відповідно електронів у зоні провідності та дірок у валентній зоні; – ширина забороненої зони; k – стала Больцмана; T – абсолютна температура. Рухливість носіїв струму за не дуже низьких температур визначається співвідношенням

, (7.1.8)

де m залежно від механізму розсіяння може набувати значень (‑3/2), (1/2), (3/2). Підставляючи вирази (7.1.7) та (7.1.8) в (7.1.6) і нехтуючи слабкою залежністю від температури коефіцієнта , остаточно одержимо

, (7.1.9)

де можна вважати сталою величиною.

Звідси випливає, що опір провідника з підвищенням температури зменшується

, (7.1.10)

де R_∞ – деяка стала. Отже,

. (7.1.11)

Тобто логарифм опору ln(R/R_¥) лінійно залежить від (1/T). Ця обставина використовується для знаходження тангенса кута нахилу відповідної прямої, який визначається, по суті, лише шириною забороненої зони.

Таблиця 7.1.2

Таким чином, експериментально вимірявши залежність опору напівпровідника від температури R = f₁(T), отримуємо можливість установити ширину забороненої зони. Значення ширини забороненої зони для деяких хімічно чистих напівпровідників наведене в табл. 7.1.2.

Схема експериментальної установки наведена на рис. 7.1.1. До її складу входить термостат, що складається із посудини з водою 2, в яку вставлено скляну пробірку 4 з маслом. У пробірку 4 також поміщено металевий провідник 5, напівпровідник 6, термометр 3. Електроплитка 1 призначена для нагрівання посудини з водою 2. Разом із водою нагрівається і пробірка 4 з маслом. Завдяки маслу термометр 3, металевий провідник 5 та напівпровідник 6 перебувають у стані теплової рівноваги, температуру якої вимірюють за допомогою термометра 5. Опір металевого провідника 5 та напівпровідника 6 вимірюють за допомогою омметра, який підключається до них через перемикач 7. Завдяки тому, що нагрівання відбувається досить повільно, можна вважати, що в кожний момент часу спостерігається квазістаціонарний стан. Вимірюючи температуру за допомогою термометра 3, а опір за допомогою омметра, експериментально знаходимо залежність опору металу та напівпровідника від температури.

У лабораторній роботі за омметр використовуємо місток Уїнстона, принципова схема якого зображена на рис. 7.1.2. Він складається з гальванометра G (рис. 7.1.2), відомих опорів r₁, r₂, r₃, кнопкового перемикача K. Із зовні до містка Уїнстона приєднується опір R, який потрібно виміряти, та джерело сталої напруги ε. Якщо ключ K замкнений, то можна, змінюючи опори r₂ та r₃, зробити так, щоб через гальванометр електричний струм не проходив. У цьому разі невідомий опір визначатиметься за формулою

. (7.1.12)

Рисунок 7.1.1 – Схема експериментальної установки: 1 – електроплитка; 2 – посудина з водою; 3 – термометр; 4 – пробірка з маслом; 5 – металевий провідник; 6 – напів­провідник; 7 – перемикач

Рисунок 7.1.2 – Схема містка Уїнстона

На містку Уїнстона є ручка, що регулює змінні опори r₂ та r₃. Ця ручка зв’язана зі шкалою, на яку нанесені значення опору відповідно до формули (7.1.12). За шкалою можемо визначити невідомий опір R.

Таким чином, для вимірювання невідомого опору R необхідно натиснути на кнопку K (і утримувати її в натисненому стані), обертаючи ручку, встановити струм гальванометра G таким, що дорівнює нулю. Далі зі шкали, що пов’язана з ручкою, „прочитати” значення невідомого опору R.