Логические основы построения ЭВМ

Для анализа и синтеза (создания) цифровых систем используется математический аппарат алгебры логики. Алгебра логики – это раздел математической логики, все элементы (функции и аргументы) которой могут принимать только два значения: 0 и 1.

Функция, однозначно определяющая соответствие каждой совокупности значений аргументов нулю или единице, называется функцией алгебры логики (ФАЛ). ФАЛ представляет собой алгебраическое выражение, содержащее переменные-аргументы, связанные между собой логическими операциями. Любая ФАЛ состоит из одной или более элементарных ФАЛ. Элементарной называется ФАЛ одного или двух аргументов, в логическом выражении которой содержится не более одной логической операции. Основные из элементарных ФАЛ приведены в табл. 3.2. Старшей является операция инверсии, более младшей – операция конъюнкции, самой младшей – операции типа дизъюнкции.

Технически ФАЛ реализуются специальными электрическими схемами, называемыми логическими элементами. Название и условное графическое обозначение логических элементов представлено в таблице 3.1. Логические элементы изготавливаются в виде интегральных микросхем, причем один корпус микросхемы содержит, как правило, несколько независимых однотипных логических элементов.

С целью упрощения устройств цифровых систем или применения в них однотипных логических элементов, соответствующие ФАЛ преобразовывают, используя при этом законы и тождества алгебры логики:

сочетательный закон:

aÙ(bÙс) = (аÙb) Ùс, аÚ(bÚс) = (аÚb)Úс,

а Å (b Å с) = (а Å b) Å с;

переместительный закон:

аÙb = bÙа, аÚb = bÚа, а Å b = b Å а;

распределительный закон:

аÙ(bÚс) = (аÙb)Ú(аÙс), аÚ(bÙс) = (аÚb)Ù(аÚс),

аÙ(bÅ с) = (аÙb)Å (аÙс);

закон двойной инверсии:

закон двойственности (правила де Моргана):

закон поглощения: а Ú а Ù с = а, a Ù (aÚc) = a;

закон склеивания:

тождества:

1) х Ú х = х, 4) х Ú х = 1, 7) х Ú 1 = 1, 10) х Ú 0 = х,

2) х Ù х = х, 5) х Ù х = 0, 8) х Ù 1 = х, 11) х Ù 0 = 0,

3) х Å х = 0, 6) х Å х = 1, 9) х Å 1 = х, 12) х Å 0 = х.

Здесь символ Ú обозначает операцию «дизъюнкция», символ Ù – операцию «конъюнкция», а символ Å – операцию «сумма по модулю два».

Таблица 3.1 Обозначение элементов, реализующих логические функции

Повторитель у= x Операции х у 0 0 1 1	Инвертор(НЕ) Операции х у 0 1 1 0
Конъюнктор (И) Операции x1 x2 y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1	Дизъюнктор(ИЛИ) Операции x1 x2 y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Элемент И-НЕ (элемент Шеффера) Операции x1 x2 y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0	Элемент ИЛИ-НЕ (элемент Пирса) Операции x1 x2 y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Сложение по модулю 2 Исключающий(ИЛИ) x1 x2 y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Равнозначность x1 x2 y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1