ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ

Теория подобия, являющаяся основой современного физического эксперимента отвечает на вопросы как спроектировать и построить модель, какие величины необходимо измерять при проведении опытов, и как перенести результаты опытов, полученных на модели на натурный объект В основе гидрогазодинамического моделирования лежит представление о подобии сравниваемых течений. Два течения будут подобны, если по характеристикам одного можно получить характеристики другого умножением на некоторые постоянные коэффициенты, называемые коэффициентами подобия.

В общем случае различают три вида подобия: геометрическое, кинематическое и динамическое.

Геометрическоеподобие требует, чтобы линейные размеры натуры и модели находились в постоянном соотношении, другими словами, модель повторяет натуру в каком-то масштабе.

Это требование можно записать в виде

где - масштабный множитель.

Для площадей и объемов

;)

Кинематическое подобие сводится к подобию полей скоростей в потоках, движущихся в геометрически подобных каналах.

Динамическое подобие требует, чтобы в соответствующих точках натуры и модели силы находились в постоянном соотношении.

Рассмотрим простейший пример. Известно, что движение любой механической системы подчиняется закону Ньютона

,

Для двух подобных систем можно записать

и

Разделив второе уравнение, на первое получим:

По смыслу есть скорость, поэтому,

(7.3)

Полученные комплексы безразмерны.

Таким образом, для двух подобных систем сохраняется числовое равенство безразмерных комплексов . В честь Ньютона это число подобия обозначается двумя первыми буквами его фамилии, т.е.

(7.4)

Таким образом, чтобы спроектировать и построить модель необходимо, чтобы она была геометрически подобна натуре, и в ней сохранялось равенство безразмерных комплексов, составленных из этих величин для натуры и модели, называемых числами подобия.

Если в числе подобия Ньютона заменим F на силу тяжести, получим число Фруда-отношение сил инерции к силам тяжести.

(7.7)

Заменим в критерии Ньютона силу, на силу давления , получим число Эйлера, для несжимаемой жидкости данное число подобия характеризует отношение изменения сил давления к удвоенному скоростному давлению.

(7.8)

В число Эйлера входит величина - перепад давления (потеря давления), которая, как правило, является искомой.

Число Рейнольдса - отношение сил инерции к силам вязкого трения, получится, если в числе подобия Ньютона заменить на силу внутреннего трения.

(7.9)

По результатам измерений можно вычислить числа подобия модели, исходя из равенства их числам подобия натуры, произвести пересчет. Из выше изложенного можно сформулировать:

- первая теорема подобия:

Подобным между собой явления имеют одинаковые критерии подобия;

- вторая теорема подобия:

Решение системы дифференциальных уравнений можно представить как функцию от критерия подобия, т.е. зависимость между переменными величинами может быть выражена критериальным уравнением.

Примером такого критериального уравнения может быть уравнение вида

Иногда для получения новых критериев известные критерии перемножаются, так при перемножении критерия Фруда на квадрат критерия Рейнольдса, получим критерий Галилея, который используется для описания

свободного движения газа в среде другого газа.

(7.12)

Для одного и того же газа имеющего разные температуры, используют критерий Грасгофа

(7.13)

Конечной целью теории подобия и анализа размерностей является определение структуры безразмерного комплекса, характеризующего данный процесс.