Центральні проекції

Припустимо, що центр проекції перебуває в крапці , а картинна площина збігається із площиною . Візьмемо довільну крапку зображуваного об'єкта й визначимо її проекцію на обрану площину (мал. 9.7).

Рис. 9.7. Центральна проекція на площину XOY

Пряму, що проходить через крапки й , задамо в параметричному виді:

(9.1)

Тепер знайдемо крапку перетинання цій прямій з картинною площиною. Вона визначається з умови рівності нулю третьої координати:

звідки визначаємо значення параметра , при якому крапка прямої належить координатній площині:

Підставляючи це значення у формулу (9.1), ми одержимо координати проекції крапки :

(9.2)

Фактором, що впливає на перспективну зміну розмірів, є наявність координати в знаменнику. Чим ближче виявляється крапка до центра проекції, тим більше знаменник, а відповідно й координати крапки.

Ми будемо розглядати ситуацію, коли центр проекції лежить на осі , а сама вісь спрямована від спостерігача до проекційної площини, тобто . Тоді формули (9.2) здобувають вид

(9.3)

В однорідних координатах таке перетворення можна записати за допомогою двох операцій. Спочатку множимо матрицю проективного перетворення на вихідну точку й одержуємо крапку в четырехмерном просторі:

(9.4)

Потім проектуємо цю крапку в простір однорідних координат шляхом розподілу на четвертий компонент:

Подивимося тепер, що відбувається з пучком паралельних прямих під дією матриці проекції. Нехай заданий пучок прямих, паралельних вектору . Тоді параметричне рівняння прямої, що належить цьому пучку, має вигляд

З формули (9.4) треба, що в результаті проектування одержимо безліч крапок

Переходячи до однорідних координат і помноживши чисельник і знаменник кожного дробу на , одержимо крапки виду

Тепер у кожному компоненті вектора чисельник і знаменник поділимо на :

Переходячи до межі при , одержимо крапку

Таким чином, одержуємо, що після проектування пучок паралельних прямих перетинається в точці сходу . Зрозуміло, що в кожного пучка своя крапка сходу. Якщо пучок прямих паралельний площини , тобто , то крапка сходу виявляється на нескінченності, а виходить, прямі залишаються паралельними.

Для побудови перспективної проекції з декількома крапками сходу використовується матриця перспективного перетворення без проектування:

Тепер крапки простору спочатку піддаються перспективному перетворенню, а потім здійснюється проекція.

Визначимо крапки сходу для прямих, паралельних осям координат. Для прямих результатом проективного перетворення буде безліч крапок , де . При одержимо крапку з координатами . При проекції на площину одержимо крапку . Пучок прямих перейде в , а крапкою сходу для нього буде , що при проектуванні перейде в крапку, що лежить на осі . Аналогічно для пучка прямих, паралельні осі , одержимо крапку сходу на осі . Ці три крапки на площині є головними крапками сходу.