Арбитражную модель

Определим на основе формулы (3.48) доходность актива без риска. Поскольку коэффициенты бета для него равны нулю, то его доходность представлена выражением:

Подставив в формулу (3.48) ставку без риска, получим:

Необходимо определить, что представляют собой оставшиеся коэффициенты в уравнении (3.50). Допустим, доходности активов определяются только одним фактором риска. Тогда уравнение (3.50) принимает вид:

Объединим данные активы в широко диверсифицированный портфель. Удельные веса активов в портфеле определим таким образом, чтобы совокупная бета портфеля была равна единице, т.е. веса активов в портфеле найдем из системы уравнений:

Умножим правую и левую части равенства (3.51) для каждого актива на его удельный вес актива в портфеле:

Просуммируем все равенства:

или

или, в силу условия (3.52),

Отсюда:

Таким образом, есть превышение доходности портфеля с коэффициентом чувствительности к фактору риска, равному единице над ставкой без риска или премия за риск для данного портфеля или фактора риска. Соответственно ожидаемая доходность такого портфеля равна ожидаемой доходности фактора риска. В рассуждениях мы определили для случая, когда доходность активов определяется только одним фактором риска. Это условие можно опустить. Тогда, чтобы получить уравнение (3.53), необходимо портфель сформировать таким образом, чтобы он оказался нейтральным к другим факторам риска. Для этого надо найти удельные веса бумаг в портфеле из системы уравнений:

С учетом равенства (3.53) формула (3.50) принимает вид:

С помощью формулы (3.54) можно определить ожидаемую доходность актива.

Пример.

Инвестор определяет ожидаемую доходность актива с помощью APT, в которую он включил два фактора. Ставка без риска равна 10%. Ожидаемая доходность первого фактора риска составляет 14%, второго фактора риска - 12%. Коэффициенты чувствительности к факторам риска актива 1,2 и 1,4. Тогда ожидаемая доходность актива равна:

Как было отмечено выше, если на рынке активы не получают оценки адекватной факторам риска, то можно заработать арбитражную прибыль, сформировав арбитражный портфель. Для этого необходимо найти удельные веса активов в портфеле. Их можно определить на основе условий (3.43) и (3.45), которые должны выполняться одновременно:

где k – количество факторов риска, учитываемых в модели. Определив удельные веса, их следует подставить в уравнение (3.46). Если получен положительный результат, то найденный портфель является арбитражным.

Пример.

Портфель инвестора состоит из трех активов, которые восприимчивы к двум факторам риска. Ожидаемая доходность первого фактора риска 15%, второго - 12%, ставка без риска - 10%. Коэффициенты чувствительности к факторам риска для первого актива равны соответственно 2 и 1,5, второго актива -1,25 и 0,6, третьего актива - 1,5 и 0,9. Ожидаемая доходность первого актива равна 18%, второго - 16%, третьего - 12%. Определить, можно ли получить арбитражную прибыль.

Решение.

Найдем удельные веса каждого актива в арбитражном портфеле, решив следующую систему уравнений:

Определитель матрицы линейных уравнений (3.56) равен нулю:

Поскольку матрица является однородной, то равенство ее определителя нулю говорит о том, что данная система имеет бесконечно много решений. Ранг матрицы равен 2, а порядок 3. Для решения такой системы выбирают количество независимых переменных, которое равно разности между порядком матрицы и ее рангом. Остальные переменные являются зависимыми и находятся на основе произвольно задаваемых значений независимых переменных. В примере независимой переменной выступает соответственно только одна переменная. Зададим его равным 0,2. Тогда получим одно из возможных решений системы (3.56):

Определим ожидаемую доходность арбитражного портфеля:

Поскольку получен положительный результат, то данный портфель является арбитражным.

Допустим, что общая стоимость портфеля инвестора составляет 10 млн. руб., в том числе первого актива - 1 млн. руб., второго - 2 млн. руб., третьего -7 млн. руб. Для формирования арбитражного портфеля инвестору необходимо купить дополнительно первого актива на сумму:

второго актива на сумму:

и продать третий актив (об этом говорит знак минус) для финансирования данной стратегии на сумму:

Доходность первоначального портфеля инвестора составляла:

Доходность нового портфеля равна:

т.е. на 2,8% больше, как и было определено выше.

Таким образом, если инвестор полагает, что нерыночный риск портфеля будет незначительным, то он может повысить ожидаемую доходность портфеля за счет определения арбитражных возможностей. В результате возникшего дополнительного спроса на первый и второй активы их цены должны вырасти и, следовательно, ожидаемые доходности упасть. Напротив, цена третьего актива снизится вследствие увеличения его предложения на рынке, и его ожидаемая доходность возрастет.

Инвесторы будут стремиться воспользоваться арбитражными возможностями, поэтому вскоре цены и доходности финансовых активов установятся на равновесном уровне. Например, ожидаемая доходность первого актива согласно APT составит:

В заключение решения данной задачи вернемся еще раз к системе уравнений (3.56). Она являлась квадратной, так как количество уравнений соответствовало количеству неизвестных. Арбитражная модель предполагает формирование широко диверсифицированного портфеля. Поэтому количество неизвестных, т.е. удельных весов бумаг в арбитражном портфеле, будет превышать количество уравнений, которое, согласно системе (3.55), определяется количеством факторов риска плюс еще одно уравнение. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Поэтому алгоритм ее решения такой же как и системы (3.56), т.е. определяется количество независимых переменных. Им задаются произвольные значения, и на их основе вычисляются значения зависимых переменных. Поскольку независимым переменным можно задавать любые веса, то, как было отмечено, возможно бесчисленное множество решений. Какое из них предпочесть. Так как задача состоит в максимизации ожидаемой доходности портфеля, то, согласно формальному подходу, следовало бы выбрать наибольшие положительные веса для активов с более высокой ожидаемой доходностью и наибольшие отрицательные веса для активов с наименьшей ожидаемой доходностью, чтобы за их счет приобрести первые активы. Например, если бы в задаче инвестор полностью продал менее доходный третий актив, т.е. задал его удельный вес равным минус один, то первый актив следовало бы купить в удельном весе 0,33, а второй 0,67. Тогда ожидаемая доходность арбитражного портфеля составила бы 4,67%. Является ли такое решение оптимальным - нет. По условиям модели портфель должен быть максимально диверсифицирован, чтобы исключить специфический риск. Если уменьшаем степень диверсификации, то увеличиваем нерыночные риски. В последнем случае исключили третью бумагу и добавили первую и вторую. В результате возросли связанные с ними диверсифицируемые риски. Поэтому при корректировке состава первоначального портфеля существуют ограниченные возможности варьирования весами активов, чтобы портфель не стал обладать существенным специфическим риском.

Определенным недостатком модели является то, что в ней не выделены конкретные риски, которые необходимо учитывать. Р.Ролл и С.Росс провели проверку модели на основе ежедневных данных для акций, обращавшихся на Нью-Йоркской и Американской фондовых биржах за период с июля 1962 по декабрь 1972 года. Акции были объединены в алфавитном порядке в группы из 30 штук. Всего было образовано 42 группы. Они определили, что большая часть совместного изменения доходностей акций определяется четырьмя или пятью факторами риска.

В другом исследовании Н.Чен, Р.Ролл и С.Росс предположили, что на доходности бумаг должны влиять факторы, от которых зависят будущие доходы компаний, и факторы, определяющие ставку дисконтирования данных доходов. На этой основе они выделили четыре фактора: темп прироста ВНП, темп инфляции, спрэд между доходностями кратко- и долгосрочных облигаций США, спрэд между доходностями корпоративных облигаций с низким и высоким рейтингом.

Росс утверждает, что APT и САРМ - это разные по своему принципу модели. Однако можно сказать, что САРМ представляет собой частный случай APT. Это можно показать следующим образом. Если предположить, что доходности бумаг зависят только от одного фактора - рыночного портфеля, то уравнение (3.50) примет вид:

Умножим правую и левую части уравнения (3.57) для каждой бумаги на ее удельный вес в рыночном портфеле и суммируем уравнения для всех бумаг. Получим:

ИЛИ

Подставим значение Л из уравнения (3.58) в (3.57):

Уравнение (3.59) есть не что иное как уравнение SML модели САРМ.

С точки зрения теоретического подхода APT дает ключ к объяснению аномалий, которые были обнаружены на рынке в связи с проверкой САРМ, т.е. при оценке стоимости активов следует учитывать не просто доходность рынка, как предлагается САРМ, а ряд факторов.

APT дает инструментарий для определения арбитражных возможностей при формировании портфеля. Однако САРМ также обладает арбитражным потенциалом, который представлен величиной альфа. Если альфа активов в рамках модели САРМ не равна нулю, то существует потенциальная возможность заработать арбитражную прибыль.

Практическая значимость APT возникает в случае формирования портфеля, ориентированного на какие-либо определенные факторы риска, поскольку модель позволяет лучше учесть их в прогнозах и действиях инвестора. Например, в преддверии изменения некоторого макроэкономического фактора можно в большей степени сделать акцент на операции с активами, которые характеризуются более высоким коэффициентом чувствительности к этому фактору риска. В целом, однако, можно сказать, что APT не получила широкого распространения на практике.