Угловая скорость
Угловой скоростью тела называют вектор , численно равный первой производной угла j по времени, направленный вдоль оси вращения по правилу буравчика, так же как вектор :
(1.2.1.) |
Угловая скорость (единица измерения в СИ - ) характеризует направление и быстроту вращения тела вокруг оси. Если то движение называют равномерным вращением вокруг неподвижной оси.
Скорость произвольной точки M тела, вращающегося с угловой скоростью , часто называют линейной скоростью этой точки.
линейная скорость υ точки связана с угловой скоростью ω и радиусом R траектории соотношением
,
где DS – путь, который проходит точка за время Dt (рис.1.7.).
В векторном виде формулу для линейной скорости можно записать как векторное произведение
. | (1.2.2,а) |
Модуль линейной скорости
. (1.2.2,б)
При равномерном вращении угловая скорость , а угол поворота .
Единицей угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду .
Угловая скорость w - есть величина постоянная, она указывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. В этом случае она называется круговой или циклической частотой.
Равномерное движение можно охарактеризовать также периодом обращения. Периодом вращения T называют промежуток времени, в течении которого тело равномерно вращаясь с угловой скоростью w, совершает один оборот, то есть j = 2p:
Частотой вращения n называют число оборотов, совершаемых телом за 1 секунду при равномерном вращении:
, | (1.2.3) |
Единица частоты вращения – герц (Гц).
Угловое ускорение
Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением (в СИ единицей углового ускорения является ):
(1.2.4,а) |
При неподвижной оси вращения векторы и коллинеарны и направлены вдоль оси вращения. При ускоренном вращении векторы и одинаково направлены, при замедленном вращении - противоположно направлены.
Направим ось OZ по оси вращения OO/(см. рис. 1.8), при этом проекция вектора на ось OZ:
. | (1.2.4,б) |
Ускорение произвольной точки M тела, вращающегося с угловым ускорением , называют линейным ускорением этой точки. Согласно выражению (1.1.12) линейное ускорение представляет собой векторную сумму тангенциального и нормального ускорений точки M твердого тела, причем, а =w×R (см. (1.2.2,а)) и, как следствие, Что касается нормального ускорения , то с учетом уравнения (1.2.2,а) можно получить: Таким образом, модуль линейного ускорения равен
(1.2.5) |
Из рис. 1.8 следует, что вектор тангенциального ускорения , сонаправленный с вектором линейной скорости , перпендикулярен как вектору , так и вектору , и направлен в ту же сторону, что и результат векторного произведения Таким образом,
(1.2.6,а) |
С учетом того, что (см. рис. 1.8), можно показать:
(1.2.6,б) |
Нормальное ускорение направлено противоположно радиусу - вектору проведенному в точку M из центра окружности (по которой движется точка M) (см. рис. 1.8). Поэтому
(1.2.6,в) |
где - единичный вектор, направленный по радиусу - вектору
уравнения кинематики вращательного движения твердого тела относительно оси OZ OO/
1. Равномерное вращение.
, wz = w = const > 0. При этом (см. (1.2.1))
(1.2.7) |
где j0 – значение j в начальный момент времени (t = 0).
2. Равнопеременное вращение относительно оси OZ.
ez = const. При ez > 0 – вращение равноускоренное; При ez < 0 – вращение равнозамедленное; wz = w = const > 0. Из выражения (1.2.4,б) следует, что
(1.2.8) |
где w0 – начальная скорость. Кроме того,
. | (1.2.9) |
Часто для простоты записи в выражениях (1.2.8) и (1.2.9) вместо ez используют e.
Путь, который проходит твердое тело при равноускоренном вращательном движении
.
В целом полученные выше сведения по кинематике можно занести в таблицу аналогий (табл. 1).
Таблица 1
Поступательное движение | Вращательное движение | Формулы связи |
S | S = R×j | |
Равномерное движение | ||
, wz = w = const > 0 | ||
Равнопеременное движение | ||
an = 0, at = const | ez = const; wz = w = const > 0 |
Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 1561;