Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Дифференциальные уравнения описывают зависимость массовых и поверхностных сил от координат какой-либо точки покоящейся жидкости
(уравнения Л. Эйлера)
Дифференциальные уравнения описывают зависимость массовых и поверхностных сил от координат какой-либо точки покоящейся жидкости. Для ввода этих уравнений выделим в покоящейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами , , и с центром в точке А, ориентируем этот параллелепипед относительно координатных осей ; ; (рис. 3).
Рис. 3. К выводу уравнения Л. Эйлера
На грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости действуют поверхностные силы – силы гидростатического давления направленные внутрь параллелепипеда и массовые силы – сила тяжести и сила инерции переносного движения. Равнодействующая массовых сил .
Установим связь между гидростатическим давление в точке А ( ) и массовыми силами.
Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда
; ; ;
; ; ;
Эти же силы гидростатического давления, выраженные через гидростатическое давление в т. А.
; и т.д.
Здесь ; и т.д. градиенты давления по соответствующим координатным осям.
Равнодействующая массовых сил
Условие равновесия выделенного параллелепипеда:
; ;
Рассмотрим случай .
,
или в развернутом виде:
где ;
– проекция единичной массовой силы (т.е. сила, отнесенная к единице массы) на ось .
После простейшего преобразования получаем , а по аналогии для других координатных осей ; .
Таким образом, условием равновесия жидкости будет
(13)
В таком виде система уравнений была получена Л. Эйлером в 1775 году.
Система дифференциальных уравнений показывает, что градиенты гидростатического давления в направлении каждой из координат осей равны проекциям на эти же оси единичных массовых сил.
Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 923;