Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Дифференциальные уравнения описывают зависимость массовых и поверхностных сил от координат какой-либо точки покоящейся жидкости

(уравнения Л. Эйлера)

Дифференциальные уравнения описывают зависимость массовых и поверхностных сил от координат какой-либо точки покоящейся жидкости. Для ввода этих уравнений выделим в покоящейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами , , и с центром в точке А, ориентируем этот параллелепипед относительно координатных осей ; ; (рис. 3).

 

Рис. 3. К выводу уравнения Л. Эйлера

 

На грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости действуют поверхностные силы – силы гидростатического давления направленные внутрь параллелепипеда и массовые силы – сила тяжести и сила инерции переносного движения. Равнодействующая массовых сил .

Установим связь между гидростатическим давление в точке А ( ) и массовыми силами.

Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда

 

; ; ;

; ; ;

 

 

Эти же силы гидростатического давления, выраженные через гидростатическое давление в т. А.

 

; и т.д.

 

Здесь ; и т.д. градиенты давления по соответствующим координатным осям.

Равнодействующая массовых сил

 

Условие равновесия выделенного параллелепипеда:

 

; ;

 

Рассмотрим случай .

 

,

 

или в развернутом виде:

 

 

где ;

– проекция единичной массовой силы (т.е. сила, отнесенная к единице массы) на ось .

После простейшего преобразования получаем , а по аналогии для других координатных осей ; .

 

Таким образом, условием равновесия жидкости будет

(13)

 

В таком виде система уравнений была получена Л. Эйлером в 1775 году.

Система дифференциальных уравнений показывает, что градиенты гидростатического давления в направлении каждой из координат осей равны проекциям на эти же оси единичных массовых сил.

 

 








Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 931;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.