Эмпирические свидетельства предсказуемости финансовых рядов

Метод погружения позволяет количественно измерить предсказуемость реальных финансовых инструментов, т.е. проверить или опровергнуть гипотезу эффективности рынка. Согласно последней, разброс точек по всем координатам лагового пространства одинаков (если они - одинаково распределенные независимые случайные величины). Напротив, хаотическая динамика, обеспечивающая определенную предсказуемость, должна приводить к тому, что наблюдения будут группироваться вблизи некоторой гиперповерхности , т.е. экспериментальная выборка формирует некоторое множество размерности меньшей, чем размерность всего лагового пространства.

Для измерения размерности можно воспользоваться следующим интуитивно понятным свойством: если множество имеет размерность , то при разбиении его на все более мелкие покрытия кубиками со стороной , число таких кубиков растет как . На этом факте основывается определение размерности множеств уже знакомым нам методом box-counting. Размерность множества точек определяется по скорости возрастания числа ячеек (boxes), содержащих все точки множества[18]. Для ускорения алгоритма размеры берут кратными 2, т.е. масштаб разрешения измеряется в битах.

В качестве примера типичного рыночного временного ряда возьмем такой известный финансовый инструмент, как индекс котировок акций 500 крупнейших компаний США, S&P500, отражающий среднюю динамику цен на Нью-Йоркской бирже. Рисунок 11 показывает динамику индекса на протяжении 679 месяцев. Размерность (информационная) приращений этого ряда, подсчитанная методом box-counting, показана на следующем рисунке (Рисунок 12).

Рисунок 11. Временной ряд 679 значений индекса S&P500	Рисунок 12. Информационая размерность приращений ряда S&P500

Как следует из последнего рисунка, в 15-мерном пространстве погружения экспериментальные точки формируют множество размерности примерно 4. Это значительно меньше, чем 15, что мы получили бы исходя из гипотезы эффективного рынка, считающей ряд приращений независимыми случайными величинами.

Таким образом, эмпирические данные убедительно свидетельствуют о наличии некоторой предсказуемой составляющей в финансовых временных рядах, хотя здесь и нельзя говорить о полностью детерминированной хаотической динамике. Значит, попытки применения нейросетевого анализа для предсказания рынков имеют под собой веские основания[19].

Заметим, однако, что теоретическая предсказуемость вовсе не гарантирует достижимость практически значимого уровня предсказаний. Количественную оценку предсказуемости конкретных рядов дает измерение кросс-энтропии, также возможное с помощью методики box-counting. Для примера приведем измерения предсказуемости приращений индекса S&P500 в зависимости от глубины погружения[20]. Кросс-энтропия , график, которой приведен ниже (Рисунок 13), измеряет дополнительную информацию о следующем значении ряда, обеспеченную знанием прошлых значений этого ряда.

Рисунок 13. Предсказуемость знака приращений ряда индекса S&P500 в зависимости от глубины погружения (ширины "окна"). Увеличение глубины погружения свыше 25 сопровождается снижением предсказуемости

Далее в этой главе мы оценим, какой доход в принципе способен обеспечить такой уровень предсказуемости.