Нормальные формы. Покажем, что для каждой ПФ существует ей равносильная специального вида

Покажем, что для каждой ПФ существует ей равносильная специального вида. Если Х – пропозициональная переменная, v есть 0 или 1, то выражение

называется литерой. Литеры X и называются контрарными.

Заметим, что ПФ тогда и только тогда, когда , то есть .

Следовательно, ПФ на наборе принимает значение 1, а на любом другом – значение 0. Аналогично ПФ принимает значение 0 только на наборе ( , ,..., ), а на всех остальных наборах – 1 [3].

называемая дизъюнктивным разложением по переменной Х₁.

Доказательство.

Пусть – произвольная ПФ. Определим значения левой и правой частей равносильности при Х₁=1 и Х₁=0.

Таким образом, в левой и правой частях равносильности получаем одну и туже ПФ .

Аналогично можно показать, что при Х₁=1 значением левой и правой частей равносильности является ПФ .

Итак, для любого набора значений переменных Х₁, Х₂, ..., Х_n левая и правая части равносильности совпадают, что и доказывает справедливость теоремы.

Пример.Для ПФ определить дизъюнктивное разложение по переменной Х₁.

,

называемая дизъюнктивным разложением по переменным .

Теорема 5.5.2.Для любой ПФ имеет место равносильность

называемая конъюнктивным разложением по переменной Х₁.

Доказательство теоремы 5.5.2 аналогично доказательству теоремы 5.5.1.

Пример.Для ПФ определить конъюнктивное разложение по переменной Х₁.

Следствие.Для любой ПФ и любого натурального kимеет место равносильность

,

называемая конъюнктивным разложением по переменным .

Таким образом, для любой ПФ существует равносильная ей, содержащая только константы 0 и 1, символы и переменные.

Определим некоторые канонические представления ПФ.

ПФ называется элементарной конъюнкцией (конъюнктом), если она является конъюнкцией переменных и отрицаний переменных (конъюнкцией литер).

ПФ называется элементарной дизъюнкцией (дизъюнктом), если она является дизъюнкцией переменных и отрицаний переменных (дизъюнкцией литер).

Пример.

, , , – элементарные конъюнкции.

, , – элементарные дизъюнкции.

Говорят, что ПФ задана в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), если она является дизъюнкцией элементарных конъюнкций.

Пример. – ДНФ.

Говорят, что ПФ задана в конъюнктивной нормальной форме (КНФ), если она является конъюнкцией элементарных дизъюнкций.

Пример. – КНФ.

На основе равносильных преобразований любая формула может быть приведена к нормальной форме (ДНФ или КНФ) [3,4].

Алгоритм приведения ПФ к нормальным формам описывает следующая последовательность шагов.

1. Если ПФ содержит операции → и ↔, то их исключить с помощью равносильностей

, .

2. Привести отрицания к независимым переменным, используя законы де Моргана.

3. Раскрыть скобки по дистрибутивному закону конъюнкции относительно дизъюнкции для приведения к ДНФ или по дистрибутивному закону дизъюнкции относительно конъюнкции для приведения к КНФ.

Пример. Определить нормальные формы для ПФ .

Действуя, в соответствии с алгоритмом, получим ДНФ.

Замечание. Для ПФ представление в виде нормальных форм не единственно. Переход от одной формы к другой осуществляется на основе равносильных преобразований.

В отличие от нормальных форм представление в виде совершенных нормальных форм является единственным.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) данной ПФ называется ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция содержит все переменные – без отрицания или с отрицанием, но не вместе.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной ПФ называется КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит все переменные – без отрицания или с отрицанием, но не вместе.

Существует два способа перехода к совершенным формам табличный и аналитический [2, 3, 4].