Основные определения

Деревом называется конечный связный граф без циклов, имеющий не менее двух вершин.

Если G – граф с n вершинами, тоостовным деревом (остовом)графа G называется всякий остовный подграф графа G, являющийся деревом.

Пример. G – граф, показанный на рис. 4.29(а), то граф 4.29(б) является остовом графа G, как и граф, изображённый на рис. 4.29(в). Из сформулированных выше определений вытекает, что остов графа G можно также рассматривать как минимальный связанный остовный подграф графа G. Вообще говоря, остов определяется неоднозначно.

 

           
     

 


а б в

 

Рис. 4.29. Граф G и его остовы: а – граф G, б – остов графа G, в – другой остов

 

K-деревом называется ациклический граф, состоящий из k компонент связности.

Если k-дерево является остовным подграфом графа G, то оно называется k-остовом графа G.

Кодерево Т* остова Т графа G – это остовный подграф графа G, содержащий только те ребра G, которых нет в Т. Ребра остова Т называются ветвями, а ребра соответствующего кодерева Т* – хордами.

Лесом L графа G называется остовное k-дерево графа G, где k - число компонент связности в G. Любой неорграф без циклов называется ациклическим гра­фом или лесом. Таким образом, компонентами связности любого леса являются деревья. На рис. 4.30 изображен лес, состоящий из двух деревьев.

 
 

Теорема 4.11.1. Для неориентированного графа G без петель содержащего n вершин характеристические свойства дерева эквивалентны:

1) G связен и не содержит циклов;

2) G не содержит циклов и имеет (n-1) ребро;

3) G связен и имеет (n-1) ребро;

4) G не содержит циклов, но добавление ребра между любыми двумя несмежными вершинами приводит к появлению цикла;

5) G связен, но утрачивает это свойство после удаления любого ребра;

6) Всякая пара вершин соединена цепью и притом только одной.

Из теоремы 4.11.1 вытекает следствие.

Следствие 4.11.1. Число ребер произвольного неорграфа G, которые необходимо удалить для получения остова, не зависит от последовательности их удаления и равно m–n+k, где m – число ребер, n – число вершин, k – число компонент связности графа G.

Доказательство. Действительно, если i-я компонента связности Сi графа G содержит ni вершин, то по теореме 4.11.1. соответствующее дерево Кi остова содержит ni1 ребро. Следовательно, для получения Кi из компоненты Сi нужно уда­лить mi – (ni – 1) ребер, где miчисло ребер в Ci. Сумми­руя удаляемые ребра по всем компонентам связности и замечая, что получаем, что необходимо удалить ребер.

Число n(G) = m – п + k называется цикломатическим чис­лом или циклическим рангом графа G. Число v*(G)= п – k называется коциклическим рангом или корангом. Таким обра­зом, v*(G) есть число ребер, входящих в любой остов графа G, и v(G)+v*(G)=m.

Очевидны следующие два следствия.

Следствие 4.11.2. Неорграф G является лесом тогда и толь­ко тогда, когда, v(G) = 0.

Следствие 4.11.3. Неорграф G имеет единственный цикл, то­гда и только тогда, когда v(G)=1.

Введем определение ориентированного дерева. Ориентированное дерево (древовидность) представляет собой орграф без контуров, в котором полустепень захода каждой вершины, за исключением одной (например, r), равна 1, а полустепень захода вершины r равна 0. Вершина r называется корнем дерева.

На рис. 4.31 показан граф, который является ориентированным деревом с корнем в вершине x1. Из приведенного определения следует, что ориентированное дерево с n вершинами содержит n – 1 дугу и связно.


Рис. 4.31. Ориентированное дерево

 

Следует отметить, что неориентированное дерево можно преображать в ориентированное: надо взять его произвольную вершину в качестве корня и ребрам приписать такую ориентацию, чтобы каждая вершина соединялась с корнем (только одной) простой цепью. Обратно, если T=(X,V) – ориентированное дерево, то T = (X, V), где V – множество дуг дерева Т без учета их ориентации, является неориентированным деревом.

Рассмотрим два остовных дерева T1=(X,A1) и Т2=(Х,А2) графа G. Преобразование дерева T1 в дерево Т2 называетсяэлементарным преобразованием дерева, если дерево Т2 можно получить из дерева T1, удалив из T1 дугу (ребро) а1 и добавив дугу (ребро) a2 (a1ÎА1, a2ÎA2). В этом случае считают что расстояние между T1и Т2 d(Т12)=1. Если T2 можно получить из T1 с помощью k элементарных преобразований, то d(T1,T2)=k.

Граф остовов графа G – это граф, полученный следующим образом: каждому остову графа G сопоставим определенную вершину, а две вершины в новом графе соединяются ребром тогда и только тогда, когда расстояние между соответствующими им остовами равно 1.

Кратчайший остов графа G – это остов, у которого сумма весов ребер наименьшая.

 

 








Дата добавления: 2015-04-10; просмотров: 1545;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.