Задачи и упражнения

1. Даны множества Х₀={1,2,3,4,5,6}, X₁={1,2,3,4}, X₂={2,3,4,5}, X₃={2,3,4}, X₄={3,4,5}, X₅={2,3}, X₆={3,4}, X₇={4,5}, X₈={2,4}. Сформируйте частичный порядок на этих множествах.

2. Пусть Х - множество всех прямых на плоскости. Являются ли эквивалентными отношения а) параллельности прямых и б) перпендикулярности прямых?

3. Приведите пример четырех различных рефлексивных отношений на множестве .

4. Приведите пример трех различных отношений на множестве , не являющихся рефлексивными.

5. Приведите пример двух различных симметричных отношений и двух различных, не являющихся симметричными, на множестве .

6. Приведите пример двух различных транзитивных отношений и двух различных, не являющихся транзитивными, на множестве .

7. Приведите пример частичного порядка и пример отношения, не являющегося частичным порядком.

8. Приведите пример множества и двух различных эквивалентностей на нем.

9. Приведите пример множества и двух различных частичных порядков на нем.

10. Определите свойства следующих отношений, заданных на множестве действительных чисел (R)

а) R={(x,y)| x,yÎR и x - y<0},

в) R={(x,y)| x,yÎR и 2x ³3y},

с) R={(x,y)| x,yÎR и |x| ³| y|}.

11. Найдите , , , для отношений

а) R={(x,y) | x,yÎN и x, делит y},

в) R={(x,y)| x,yÎR и x + y<0},

с) R={(x,y)| x,yÎR и 2x ³3y}.

12. Докажите, что если отношения R₁ и R₂ рефлексивны, то рефлексивны следующие отношения , , , .

13. Докажите, что если отношения R₁ и R₂ симметричны, то симметричны следующие отношения , , , .

14. Докажите, что если R эквивалентность, то есть также эквивалентность.

15. Докажите, что – эквивалентность тогда и только тогда, когда .

16. Для отношения, заданного матрицей, определить является ли оно отношением эквивалентности. Если является, то определить классы эквивалентности.