Решение СЛАУ на основе методов линейной алгебры

В терминах линейной алгебры СЛАУ записывается следующим образом:

, (3.1)

где A – матрица коэффициентов СЛАУ;

B – вектор свободных членов СЛАУ;

X – вектор решения СЛАУ.

Домножив слева левую и правую части выражения (1) на матрицу, обратную матрице коэффициентов СЛАУ, получим

. (3.2)

Учитывая, что (где I – единичная матрица), а , получим выражение для поиска вектора решения

. (3.3)

Значит, для получения вектора решения СЛАУ X необходимо получить матрицу, обратную матрице коэффициентов СЛАУ, и умножить ее на вектор свободных членов СЛАУ B. Для обращения квадратной матрицы в MS Excel существует функция =МОБР(левый_верхний_элемент_исходной_матрицы: правый_нижний_элемент_исходной_матрицы). Для умножения обратной матрицы коэффициентов СЛАУ на вектор свободных членов воспользуемся функцией =МУМНОЖ(левый_верхний_элемент_исходной_матрицы: правый_нижний_элемент_исходной_матрицы;верхний_элемент_вектора: нижний_элемент_вектора). Решение СЛАУ из трех уравнений на основе методов линейной алгебры в MS Excel, входящего в состав интегрированного пакета Microsoft Office 2003 представлено на рис. 3.1.

В строках с 1 по 22 представлено условие задачи и принятые обозначения. В ячейках (B24:D26) реализуется функция обращения матрицы коэффициентов СЛАУ с помощью функции =МОБР(B10:D12). Функцию обращения матрицы возможно создать, используя мастер формул. Для этого необходимо выделить ячейки (B24:D26) и щелкнуть по пиктограмме MS Excel , за тем в группе “Математические” выбрать функцию МОБР и нажать кнопку “OK”. После появления окна “Аргументы функции” выделить (при нажатой левой кнопки манипулятора мышь) элементы исходной матрицы коэффициентов СЛАУ (ячейки (B10:D12)) и нажать кнопку “OK”.

Рис. 3.1. Решение СЛАУ на основе методов линейной алгебры

При закрытии окна “Аргументы функции” в выделенной области (ячейках (B24:D26)) для обратной матрицы сформируется только первый элемент в первой строке. Для формирования остальных элементов обратной матрицы следует нажать клавишу F2, а за тем при одновременно нажатых клавишах Shift и Ctrl нажать клавишу Enter. В результате в ячейках (B24:D26) образуется матрица, обратная матрице коэффициентов СЛАУ.

Теперь необходимо скопировать матрицу, обратную матрице коэффициентов СЛАУ (ячейки (B24:D26)) в ячейки (C28:E30), а вектор свободных членов СЛАУ (ячейки (B14:D16)) в ячейки (I28:I30).

Алгоритм процедуры копирования представлен в табл. 1.

Таблица № 3.1

Алгоритм копирования матрицы, обратной матрице коэффициентов СЛАУ
и вектора свободных членов СЛАУ

№ п/п	Щелкнуть левой кнопкой манипулятора “мышь” по ячейке	Набрать в строке формул … и нажать Enter
Копировать матрицу (ячейки B24:D26)) в ячейки (C28:E30)
1.	B24	=C28
2.	B25	=C29
3.	B26	=C30
4.	C24	=D28
5.	C25	=D29
6.	C26	=D30
7.	D24	=E28
8.	D25	=E29
9.	D26	=E30
Копировать вектор свободных членов СЛАУ B (ячейки B14:D16)) в ячейки (H28:H30)
1.	B14	=G28
2.	B15	=G29
3.	B16	=G30

Процедура копирования позволяет при изменении исходных данных СЛАУ (матрицы коэффициентов СЛАУ и вектора свободных членов СЛАУ) в ячейках (I28:I30) получать вектор решения СЛАУ, используя функцию умножения матриц =МУМНОЖ(C28:E30;G28:G30). Функцию умножения матриц возможно создать, используя мастер формул. Для этого необходимо выделить ячейки (I28:I30) и щелкнуть по пиктограмме MS Excel , за тем в группе “Математические” выбрать функцию МУМНОЖ и нажать кнопку “OK”. После появления окна “Аргументы функции” выделить (при нажатой левой кнопки манипулятора “мышь”) элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов СЛАУ (ячейки (C28:E30)), щелкнуть левой кнопкой манипулятора “мышь” в визуальном компоненте после метки с заголовком “Массив2”, выделить (при нажатой левой кнопки манипулятора “мышь”) элементы вектора свободных членов СЛАУ (ячейки (G28:G30)) и нажать кнопку “OK”. При закрытии окна “Аргументы функции” в выделенной области (ячейках (I28:I30)) для вектора решения СЛАУ сформируется только первый элемент вектора. Для формирования остальных элементов вектора решения СЛАУ следует нажать клавишу F2, а за тем при одновременно нажатых клавишах Shift и Ctrl нажать клавишу Enter. В результате в ячейках (I28:I30) образуется вектор решения СЛАУ.

Формулы на рис. 3.1 получены в редакторе формул MS Equation 3.0, поставляемом совестно с интегрированным пакетом прикладных программ Microsoft Office 2003.

Лист MS Excel, представленный на рис. 1 позволяет получить вектор решения для любой СЛАУ, состоящей из трех уравнений. Описанная технология решения СЛАУ легко позволяет решить задачу любой размерности (для любого количества уравнений в СЛАУ).