Дифракция плоских волн (дифракция Фраунгофера)

Рис. 2.

Дифракция плоских волн была впервые рассмотрена Фраунгофером.

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис2). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фо­кальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падаю­щей волны, плоскость щели и экран па­раллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому доста­точно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в пло­скости рис.2. Все вводимые в даль­нейшем величины, в частности угол , образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллель­ные краям щели элементарные зоны ширины . Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом , соберутся в точке экрана . Каждая элементарная зона создаст в точке колебание . Амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны . Следовательно, амплитуда колебания , воз­буждаемого зоной ширины в любой точке экрана, имеет вид

,

где - константа.

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, воз­буждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через . Ее можно найти, проинтегрировав по всей ширине щели :

.

Отсюда , и, следовательно,

.

Теперь определим фазовые соотношения между колебаниями . Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке элементар­ными зонами с координатами 0 и (рис. 2). Оптические пу­ти и таутохронны (см. рис.2). Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути = . Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке элементарной зоной, находящейся в середине щели , положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой , будет равна ( - длина волны в данной среде).

Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой в точке (положение которой определяется углом ), может быть представлено в виде

(имеется в виду вещественная часть этого выражения).

Проинтегрировав это выражение по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке открываемым щелью участком волновой поверхности:

.

Вынесем множители, не зависящие от , за знак интеграла. Кроме того, введем обозначение . В результате получим

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную ам­плитуду результирующего колебания. Приняв во внимание, что разность экспонент, деленная на , представляет собой , можно написать

Рис. 3.

.

Последнее выражение является вещественным. Его модуль пред­ставляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:

. (1)

Для точки, лежащей против центра линзы, . Подстановка этого значения в формулу (1) дает для амплитуды значение 2. Этот результат можно получить более простым путем. При колебания от всех элементарных зон приходят в точку в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания рав­на алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

При значениях , удовлетворяющих условию: , т. е. в случае, если

, (2)

амплитуда обращается в нуль. Таким образом, последнее условие определяет положения минимумов интенсивности. Отметим, что представляет собой разность хода лучей, идущих в точку от краев щели (см. рис.3).

Последнее условие легко получить из следующих соображений. Если разность хода от краев щели равна , открытую часть волновой поверхности можно разбить на равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна (см. рис. 3, выполненный для ). Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что резуль­тирующая амплитуда равна нулю. Если для точки разность хода = число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, тогда из выражения (1) получаем

, (3)

где - интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы), - интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением .

Из последней формулы получается, что . Это означает, что дифракционная картина симметрична от­носительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси на рис. 2) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против цент­ра линзы).

Рис. 4.

Напротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране.

График последней функции изображен на рис.4. По оси абс­цисс отложены значения , по оси ординат - интенсивность .

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели к длине волны . Из условия (2) следует, что . Модуль не может превысить единицу. Поэтому , откуда .

При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Краям центрального максимума соответствуют значения угла , получающиеся из условия . Эти значения равны . Следовательно, угловая ширина центрального мак­симума равна .

В случае, когда , значение можно положить рав­ным . Тогда формула для угловой ширины центрального мак­симума упрощается следующим образом:

.

Рис. 5.

Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом гра­фического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на очень узкие зоны одинаковой ширины. Колебание, возбуждаемое каждой такой зоной, имеет одинаковую амплитуду и отстает по фазе от предыдущего колебания на одну и ту же ве­личину , зависящую от угла , определяющего направление на точ­ку наблюдения . При разность фаз равна нулю и векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис.5 а. Амплитуда ре­зультирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если , колебания от краев щели нахо­дятся в противофазе. Соответственно векторы располагаются вдоль полуокружности длиной (рис. 5. б).

Следовательно, результирующая амплитуда равна . В случае, когда , колебания от краев щели отличаются по фазе на . Соответствующая векторная диаграмма изображена на рис. 5. в. Векторы располагаются вдоль окружности длиной . Резуль­тирующая амплитуда равна нулю - получается первый минимум. Первый максимум получается при . В этом случае колебания от краев щели отличаются по фазе на . Строя после­довательно векторы , мы обойдем полтора раза окружность ди­аметра (рис. 5.г). Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума. Таким образом, интенсивность первого максимума равна . Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов. В итоге получится следующее соотношение:

.

Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная доля светового потока, проходящего через щель.

В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоя­нием от щели до экрана, лучи, идущие в точку от краев щели, будут практически параллельными и в отсутствие линзы между щелью и экраном. Следовательно, при падении на щель плоской волны будет наблюдаться дифракция Фраун­гофера. Все полученные выше формулы будут справедливыми, причем под в этих формулах следует понимать угол между направлением от любого края щели к точке и нормалью к плоскости щели.