Первый множитель в (6) обращается в нуль в точках, для которых

. (7)

В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю (см. условие (2)).

Второй множитель в (6) принимает значение в точках, удовлетворяющих условию

. (8)

Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна

(9)

( - амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под уг­лом ).

Условие (8) определяет положения максимумов интенсив­ности, называемых главными. Число дает порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два.

Возведя равенство (9) в квадрат, получим, что интенсив­ность главных максимумов в раз больше интенсивности , создаваемой в направлении одной щелью: .

Кроме минимумов, определяемых условием (7), в проме­жутках между соседними главными максимумами имеется добавочных минимумов. Эти минимумы возникают в тех направле­ниях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно пога­шают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием

. (10)

.

В формуле (10) принимает все целочисленные значения, кро­ме , т. е. кроме тех, при которых условие (10) пере­ходит в (8).

Рис. 7

Условие (10) легко получить методом графического сложе­ния колебаний. Колебания от отдельных щелей изображаются векторами одинаковой длины. Согласно (10) каждый из после­дующих векторов повернут относительно предыдущего на один и тот же угол

.

Поэтому в тех случаях, когда не является целым кратным , мы, пристраивая начало следующего вектора к концу предыдущего, получим замкнутую ломаную линию, которая делает (при ) или (при ) оборотов прежде чем конец -го вектора упрется в начало 1-го. Соответственно результирующая амплитуда оказывается равной нулю. Сказанное пояснено на рис. 7, на котором показана сумма векторов для случая и значений , равных и .

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно . Ранее было показано, что интенсивность вторичных макси­мумов не превышает интенсивности ближайшего главного максимума.

На рис. 8 приведен график функции (6) для и . Пунктирная кривая, проходящая через вершины глав­ных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на . При взятом на рисунке отношении пе­риода решетки к ширине щели главные максимумы 3-го, 6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. Вообще из формул (7) и (8) вытекает, что главный максимум -го порядка придется на -й минимум от одной щели, если будет выпол­нено равенство: , или . Этовозможно, если равно отношению двух целых чисел и (практический интерес представляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный

Рис. 8

максимум -го порядка наложится на -й минимум от одной щели, максимум -го порядка - на -й минимум и т. д., в результате чего максимумы порядков и т. д. будут отсутствовать.

Рис. 9

Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки к длине волны . Модуль не может превысить единицу. Поэтому из формулы (8) вытекает что .

Определим угловую ширину центрального (нулевого) максимума. Положение ближайших к нему дополнительных минимумов определяется условием (см. формулу (10)), этим минимумам соответствуют
= , при этом . .

Положение дополнительных минимумов, ближайших к главно­му максимуму -го порядка, определяется условием: . Отсюда получается для угловой ширины -го мак­симума следующее выражение:

.

Обозначив и , имеем

.

При большом числе щелей значение будет очень мало, потому , и

.

При

Рис. 10

Произведение дает длину дифракционной решетки. Следо­вательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропор­циональна длине решетки. С увеличением порядка максимума ширина возрастает.

В дифракционном спектре положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все макси­мумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный - наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на ). Разрешающая сила определяет ми­нимальную разность длин волн , при которой две линии воспри­нимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

,

где – угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на .

Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, про­дифференцируем условие (8) главного максимума слева по , а справа по . Опуская знак минус, получим

.

Отсюда

.

В пределах небольших углов , поэтому можно положить

(11)

- угловая дисперсия обрат­но пропорциональна периоду решетки . Чем выше порядок спект­ра , тем больше дисперсия.

Линейной дисперсией называют величину , где - линейное расстояние на экране или на фотопластинке меж­ду спектральными линиями, отличающимися по длине волны на . Из рис. 9 видно, что при небольших значениях угла можно по­ложить , где - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Следовательно, линейная диспер­сия связана с угловой дисперсией соотношением

.

Приняв во внимание выражение (11), получим для линейной дисперсии дифракционной решетки (при небольших ) следующую формулу:

.

Разрешающей силой спектрального прибора называ­ют безразмерную величину

,

где - минимальная разность длин волн двух спектральных ли­ний, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Возможность разрешения (т. е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояний между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектрального максимума. На рис. 10 показана результирующая интенсивность (сплошные кривые), наблюдающаяся при наложении двух близких максимумов (пунктирные кривые). В случае а) оба максимума воспринимаются как один. В случае б) между максимумами лежит минимум. Два близких максимума вос­принимаются глазом раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума. Согласно критерию, предложенному Рэлеем, такое соотношение интенсивностей имеет место в том случае, если сере­дина одного максимума совпадает с краем другого (рис. 10. б). Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном (для данного прибора) значении .

Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положе­ние середины -го максимума для длины волны определяется условием

.

Края -го максимума для длины волны расположены под углами, удовлетворяющими соотношению

.

Середина максимума для длины волны совпадет с краем максимума для длины волны в том случае, если . Отсюда

.

Решив это соотношение относительно , получим выражение для разрешающей силы .

Таким образом, разрешающая сила дифракционной решетки про­порциональна порядку спектра и числу щелей .