Частные случаи уравнений равновесия

На прошлой лекции были получены уравнения равновесия в общем случае для системы сил как угодно расположенных в пространстве в виде:

åF_kx=0 åm_x( )=0

åF_ky=0 åm_y( )=0 (*)

åF_kz=0 åm_z( )=0

Механический смысл этих уравнений в том, что первые три уравнения означают, что нет перемещения тела вдоль координатных осей, а последние три уравнения означают, что нет и вращения тела вокруг координатных осей.

Рассмотрим теперь частные случаи уравнений равновесия для уже изученных других систем:

а)Пространственная сходящаяся система сил (рис.5.1).

В этом случае в точке О, где пересекаются линии действия данных сил , ,…, выбираем начало координат. Тогда линии действия всех сил будут пересекать каждую из трех осей координат и три последних уравнения системы (*) обратятся в тождество. Следовательно, число уравнений равновесия системы (*) сокращается до трех и будет иметь вид:

åF_kx=0

åF_ky=0 (5.1)

åF_kz=0

Рис.5.1.

б)Пространственная система параллельных сил (рис.5.2).

Рис.5.2.

В этом случае координатную ось Z направим параллельно силам. Тогда первые два и последние уравнение системы (*) выполняются тождественно. Следовательно, для системы параллельных сил уравнения равновесия принимают вид:

åF_kz=0

åm_x( )=0 (5.2)

åm_y( )=0

в)Плоская система сил (рис.5.3).

Пусть данные силы лежат в плоскости чертежа. Ось Z направим перпендикулярно чертежу. Тогда третье уравнение системы (*) обратится в тождество (все силы будут перпендикулярно оси Z), четвертое и пятое уравнения также выполняются тождественно, так как линии действия всех сил или пересекают оси Х и У, или параллельны им.

Рис.5.3.

Поэтому уравнения равновесия здесь имеют вид:

åF_kx=0

åF_ky=0 (5.3)

åm_z( )=åm₀( )=0

т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две координатные оси равнялись нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил относительной какой-нибудь точки равнялись нулю.

Замечание. Уравнение (5.3) называется основной формой уравнений равновесия плоской системы сил. Здесь координатные оси и центр О выбираются произвольно.

Для плоской системы сил возможны и другие формы уравнений равновесия. Можно составлять, например, следующие уравнения:

åm_A( )=0

åm_B( )=0 (5.4)

åm_C( )=0

Но только следует помнить, что точки А,В,С не должны лежать на одной прямой.

Или еще можно составлять уравнения равновесия в таком виде:

åm_A( )=0

åm_B( )=0 (5.5)

åF_kx=0

Но только ось Х здесь не должна быть перпендикулярна линии АВ.

В силу указанных ограничений в двух последних случаях чаще всего используется основная форма уравнений равновесия.