Плоские кривые линии. Касательная, нормаль, кривизна

Плоская кривая линия (a) построена в плоскости S (рис. 106).

Касательной к плоской кривой линии в некоторой точке называют предельное положение секущей, когда две общие точки пересечения, стремясь друг к другу, совпадают. В общем случае касательная может занять разное положение в зависимости от того, в какую сторону поворачивается секущая относительно некоторой неподвижной точки кривой. Поэтому для характеристики точек плоской линии принято использовать полукасательные.

На рис. 106 показано образование полукасательной t¹, когда точка A на секущем луче [MA] перемещает-

ся к неподвижной точке M. Предельное положение

Рис. 106 секущей называют полукасательной t¹.

Аналогично получают другую полукасательную t² при перемещении точки B второго секущего луча [MB] к точке M.

Кривая линия в точке M имеет две разнонаправленные полукасательные. Если в точке M разнонаправленные полукасательные к кривой (a) продолжают одна другую и определяют одну прямую линию – касательную, кривая линия в точке M называется плавной. Кривая, плавная во всех ее точках, называется плавной кривой линией.

Нормалью (n) плоской кривой в данной точке M называется перпендикуляр к полукасательной (t), лежащей в плоскости кривой и направленной внутрь ее.

Поскольку в каждой точке кривой можно построить две полукасательные, то и нормалей также будет две, которые в некоторых случаях могут совпадать (см. рис. 106).

При параллельном проецировании порядок плоской алгебраической кривой не изменяется.

Движение точки вдоль кривой (a) связано с непрерывным изменением двух величин: расстояния S, на которое удалена точка от начального своего положения, и угла a поворота касательной относительно начального положения. Если с увеличением пути S движения точки непрерывно увеличивается и угол a, кривая линия называется простой.

Рис. 107

Угол a между касательными в двух бесконечно близких точках кривой, отнесенный к длине дуги между этими точками, определяют кривизну кривой. Кривизна K – предел отношения угла Da между двумя соседними касательными к соответствующей дуге DS (рис. 107), т.е.

Графически кривизна численно равна величине, обратной радиусу r_k окружности кривизны – окружности соприкасающейся кривой в данной точке и имеющей с ней общие полукасательную и нормаль:

Центр окружности кривизны O_k называют центром кривизны. Он всегда располагается на нормали.

Кривизна прямой в любой ее точке равна 0. Кривизна произвольной кривой в разных точках различна.

Умение графически определять полукасательную, нормаль, радиус и центр кривизны весьма важно при построении плоских кривых с определенными заданными параметрами.

Поскольку касательная и нормаль являются взаимно перпендикулярными прямыми, то положение одной из них однозначно определяют положение другой.

Построение касательной и нормали в общем случае осуществляется приближенно при помощи кривой ошибок. В зависимости от постановки задачи возможны различные способы построения этих параметров.

Для построения касательной t к кривой l, проходящей через точку А, расположенной вне кривой (рис. 108), необходимо через нее провести пучок секущих прямых a¹, a², a³ и т.д. Через середины хорд проводится кривая m, называемая кривой ошибок.

Искомая касательная t проходит через точку M пересечения кривой ошибок с заданной кривой. Нормаль n располагается перпендикулярно касательной.

При построении касательной в заданной точке M кривой первоначально проводят произвольную прямую b примерно перпендикулярно искомой касательной (рис. 110).

Рис. 111

По точкам пересечения окружностей с кривой строят хорды, из концов которых проводят разнонаправленные перпендикуляры к ним. На перпендикулярах откладываются отрезки, равные длине соответствующих хорд. Через концы этих отрезков проводят кривую ошибок m, которая пересекает заданную кривую линию в точке M, через которую проходит нормаль n и касательная t.

Центр и радиус кривизны кривой в заданной точке M строят, используя касательную и нормаль. Для этого через ряд точек кривой A, B, C вблизи точки M и саму точку M проводят касательные t^А, t^В, t^С и t^М (рис. 112).

Через точки A¹, B¹, C¹, M¹, расположенные на одинаковом расстоянии от соответствующих точек кривой A, B, C, M, проводят плавную кривую линию m. В точках M и M¹ строят нормали к кривым l и m, точка пересечения которых O_k определяет центр кривизны кривой l в точке M.

Радиус кривизны .

Рис. 112