Возможности использования метода PERT (Program Evaluation and Review Technique)

В данной параграфе показаны возможности использования метода PERT (Program Evaluation and Review Technique — метод оценки и обзора программы) для контроля сроков выполнения проекта. Метод PERT ориентирован на анализ таких проектов, для кото­рых продолжительность выполнения всех или некоторых работ не удается определить точно. Прежде всего речь идет о проектиро­вании и внедрении новых систем. В таких проектах многие рабо­ты не имеют аналогов. В результате возникает неопределенность в сроках выполнения проекта в целом.

Применение метода PERТ позволяет получить ответы на сле­дующие вопросы:

1. Чему равно ожидаемое время выполнения работы?

2. Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3. С какой вероятностью проект может быть выполнен за ука­занное время?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи­ческого анализа:

• оптимистическое и пессимистическое время выполнения ра­боты;

• наиболее вероятное и ожидаемое время выполнения работы;

• вариацию времени выполнения работы, проекта.

Математическое ожидание (ожидаемое значение) времени вы­полнения проекта Е(T) равно сумме ожидаемых значений време­ни выполнения работ, лежащих на критическом пути.

Для определения критического пути проекта может быть ис­пользован метод СРМ. На этом этапе анализа проекта время вы­полнения работы полагается равным ожидаемому времени .

Вариация (дисперсия) s²(T) общего времени, требуемого для за­вершения проекта, в предположении о независимости време­ни выполнения работ равна сумме вариаций (дисперсий) време­ни выполнения работ критического пути. Если же две или более работы взаимозависимы, то указанная сумма дает приближен­ное представление о вариации времени завершения проекта.

Распределение времени T завершения проекта является асимп­тотически нормальным со средним ET) и дисперсией s²(Т).С учетом этого можно рассчитать вероятность завершения проек­та в установленный срок T₀. Для определения вероятности того, что Т £ Т₀, следует использовать таблицу распределения величи­ны z = [T₀ – E(Т)]/s(Т), которая имеет стандартное нормальное распределение.

Пример 1. Новый продукт Московского часового завода.Конструкторское бюро Московского часового завода (МЧЗ) разработало новый настольный радиобудильник. По мнению проектировщиков, запуск в серию нового продукта позволит расши­рить рынок сбыта и получить дополнительную прибыль.

Руководство МЧЗ решило изучить возможности реализации нового продукта. Результатом исследования должны стать реко­мендации относительно действий, которые следует предпринять для организации производства и сбыта нового продукта. Перечень работ и характеристики времени их выполнения (в неделях) ука­заны в табл.7.1:

Таблица 7.1

Вопросы:

1. Чему равен критический путь для данного проекта?

2. Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3. С какой вероятностью проект может быть выполнен за 20 недель?

Решение. Используя информацию, указанную в условии, определяем ожидаемое время ( ) и вариацию времени ( ) вы­полнения каждой работы проекта соответственно по формулам 7.9.1 и 7.9.2. Расчеты представим в виде табл. 7.2

Таблица 7.2

Работа
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

На базе данных таблицы 7.1 и 7.2 построим сетевой модель пример 1. Графическое представление это­го проекта показано на рис.7.14.

Рис. 7.14. Сетевой модель для примера 1

Полагая время выполнения работы равным ожидаемому вре­мени ее выполнения , находим критический путь. Используем для этого метод СРМв виде следующей таблицы с указанием пред­шествующих работ:

Работа	Опорные работы	Ожидаемое время
A	-
B	-
C	A
D	A
E	A
F	C
G	D
H	B,E
I	H
J	F,G,I

Критический путь для данного проекта включает работы А, Е, Н, I, J. Длина критического пути равна 6+3+4+2+2=17. Это озна­чает, что ожидаемое время выполнения проекта составляет 17 недель.

Предполагая, что распределение времени выполнения проек­та является нормальным, можно определить вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель.

Определим дисперсию времени выполнения проекта. Ее зна­чение равно сумме значений дисперсий времени выполнения ра­бот на критическом пути:

s²(T) = 1,78 + 0,11 + 0,69 + 0,03 + 0,11 = 2,72.

Учитывая, что находим значе­ние z для нормального распределения при T₀ = 20:

.

Используя таблицу нормального распределения, находим вероятность того, что время Т выполнения проекта на­ходится в интервале Е(T) £ T £ Т₀. На пересечении строки «1,8» и столбца «0,02» таблицы нормального распределения находим значение 0,4656. Следовательно, искомая вероятность того, что время Т выполнения проекта удовлетворяет условию Т £ 20, т.е. вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения 17 недель, равна 0,5 + 0,4656 = 0,9656.

Ответы:

1. Критический путь составляют работы А, Е, Н, I, J.

2.17 недель.

3. 0,9656.

Вопросы

Вопрос 1. Метод РЕRТ разработан для:

1) описания проектов путем указания всех работ, предшеству­ющих данной работе;

2) описания проектов путем представления каждой работы в виде пары узлов сети;

3) минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта;

4) нахождения критического пути при анализе проектов с за­данным временем выполнения каждой работы;

5) нахождения критического пути при анализе проектов с не­определенным временем выполнения работ.

Вопрос 2. В сетевом графике с неопределенным временем вы­полнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 12, оптимистическое — 6, ожидаемое — 10.

Чему равно наиболее вероятное время выполнения работы А7

Варианты ответов:

1) 6; 2) 10; 3) 10,5; 4) 12; 5) 12,5.

Вопрос 3. В сетевом графике с неопределенным временем вы­полнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 8, оптимистическое — 2. Величина запаса времени (полный резерв времени) работы А оказалась равной 3. Наиболее раннее время ее начала 2, а наиболее позднее время окончания 8.

Чему равно наиболее вероятное время выполнения работы А?

Варианты ответов:

1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 6; 5) 8.

Вопрос 4. В сетевом графике с неопределенным временем вы­полнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 16, оптимистическое — 4.

Чему равна дисперсия (вариация) времени выполнения рабо­ты А?

Варианты ответов:

1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) 12; 5) 16.

Вопрос 5. Ожидаемое время выполнения проекта равно 14 не­делям. Дисперсия времени выполнения проекта равна 4. Проек­тировщиков интересует вероятность, с которой проект может быть завершен за 16 недель.

Определите соответствующее пороговое значение случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение.

Варианты ответов:

1) 0,5; 2) 1; 3) 2; 4) 4; 5) 16.

Задачи

Задача 1. Ниже даны оценки продолжительности выполнения работ (в днях) применительно к небольшому проекту:

Рассчитайте ожидаемое время выполнения и дисперсию для каждой работы.

Известно, что критический путь составляют работы В, D, F.

Вопросы:

1. Чему равно ожидаемое время выполнения работы В 7

2. Чему равна дисперсия времени выполнения работы D?

3. Каково ожидаемое время выполнения проекта?

4. Чему равна дисперсия времени выполнения проекта?

Задача 2. Проект строительства плавательного бассейна состоит из девяти основных работ. Работы, их непосредственные предше­ственники и оценки времени выполнения работ (в днях) приве­дены ниже:

Постройте сеть PERT/СРМдля этого проекта.

Вопросы:

1. Каков ожидаемый срок завершения проекта?

2. Чему равна стандартная ошибка (корень квадратный из дис­персии) времени завершения проекта?

3. Какова вероятность того, что проект будет выполнен за 24 дня?

Задача 3. Рассмотрите следующий проект (оценки времени вы­полнения работ указаны в неделях):

Вопросы:

1. Какова ожидаемая продолжительность проекта?

2. Чему равна вероятность того, что проект будет завершен за 21 неделю?

3. Чему равна вероятность того, что проект будет завершен за 25 недель?

Задача 4. Деканат экономического факультета МГУ предпола­гает провести летние курсы переподготовки преподавателей эко­номической теории в каком-либо из загородных домов отдыха. Для подготовки курсов необходимо выполнить следующие рабо­ты (оценки времени указаны в неделях):

Вопросы:

1. Каково ожидаемое время завершения проекта?

2. Сколько работ на критическом пути?

3. Если деканат хочет добиться того, чтобы к заезду препода­вателей все подготовительные мероприятия были выполне­ны с вероятностью 0,975, то в какие сроки следует ожидать их завершения?

Задача 5. Менеджер плавательного бассейна МГУ разрабаты­вает план подготовки к первой тренировке команды пловцов. Тренировку предполагается провести 1 сентября. Данные о под­готовительных мероприятиях приведены в следующей таблице (оценки времени указаны в днях):

Вопросы:

1. Какова ожидаемая продолжительность проекта?

2. Сколько работ на критическом пути?

3. Если менеджер планирует начать проект 11 августа, то ка­кова вероятность того, что программа тренировки пловцов будет завершена к 1 сентября за 16 рабочих дней?