Формула Байеса. 3 страница

Ниже будет выведено условие существования плотности вероятности для фиксированных x, y.

Рассмотрим произвольную область G.

Разобьем область G на множество прямоугольников, покрывающих область G. Тогда на основании 3-й аксиомы теории вероятности имеем: вероятность искомого события равна:

. Точное выражение получим перейдя к пределу: (показать самим).

Числовая скалярная функция двух действительных аргументов называется двумерной функцией распределения, если она при фиксированном числе своих аргументов численно равна вероятности наступления F_x,y(x,y)=P(X£x, Y£y), если X, y - непрерывные случайные величины, то значение функции распределения не изменится.

Доказать:

По определению второй смешанной производной.

Найдем по двумерной плотности одномерные плотности случайных величин X и Y.

Т.к. полученное равенство верно для всех х, то подинтегральные выражение

аналогично

В математической теории вероятности вводится как базовая формула (1) ибо предлагается, что плотность вероятности как аналитическая функция может не существовать. Но т.к. в нашем курсе мы исследуем только 2 конструкции - дискретные или непрерывные, то для них полученные формулы эквивалентны и не имеет смысла какую-то из них вводить как первичную.

Условная плотность вероятности.

Найдем плотность вероятности случайной величины Y при условии, что в результате испытания над случайной величиной XY , X приняло значение х.

Обозначим

тут мы использовали второе определение одномерной плотности.

В качестве условной плотности вероятности используется следующее выражение

Обоснование выражения для условной плотности вероятности

Выведем выражение для a

Обозначим

Условное мат. ожидание и дисперсия линии регрессии - зависимость Y от X, выраженная в изменении средних значений Y при переходе x от одного значения к другому. Найдем математическое ожидание MZ, где

Двумерные независимые случайные величины (двумерные дискретные случайные величины)

Двумерная дискретная случайная величина называется случайной величиной с независимыми компонентами, если

Показать самим, что справедливо

Доказать самим, что если испытание, исходом которого является пара чисел является композицией двух независимых испытаний, то случайные величины X Y независимы.

Независимые непрерывные двумерные случайные величины.

Непрерывными случайными величинами с независимыми компонентами называются если:

Непрерывная двумерная случайная величина имеет независимые случайные компоненты, если

или

Покажем, что второе эквивалентно первому.

Покажем, что если двумерная непрерывная случайная величина XY порождена композицией независимых испытаний, то X и Y независимы.

В силу определения независимых испытаний в композиционном пространстве

В силу определения независимых испытаний в композиционном пространстве A и B независимы.

Следовательно:

Многомерные дискретные случайные величины

Это система, состоящая из m дискретных одномерных случайных величин. Всю арифметику проделать самостоятельно.

Многомерные непрерывные случайные величины.

Система из m одномерных непрерывных случайных величин, у которой пространством элементарных событий является m-мерное арифметическое пространство либо его область, имеющая ненулевой объем.

m-мерная плотность вероятности удовлетворяет выражению

m-мерной функцией распределения называется числовая скалярная функция m действительных аргументов, которая численно равна:

Случайные величины x₁, x₂, ... x_m независимы, если

Доказать, что если m-мерная случайная величина порождена композицией m-мерных испытаний, то события независимы.

Запишем аналог формул

для многомерного случая.

Для получения плотности вероятности необходимо n-мерную плотность проинтегрировать в бесконечных пределах по переменным, которые соответствуют случайным величинам, не входящим в

Найдем плотность n-мерной случайной величины.

Математическое ожидание скалярной функции случайных аргументов.

Двумерный дискретный случай.

XY

Числовая скалярная функция

является одномерной дискретной случайной величиной, со следующим отличием от обычного представления:

для того, чтобы в испытании получить реализацию необходимо провести испытание над двумерной случайной величиной XY, зафиксировать ее результат xi,yi и подставить в . Полученное число и есть реализация случайной величины .

Таблица случайной величины строится по таблице

Двумерные непрерывные случайные величины

Случайную величину аппроксимируем дискретной по следующему правилу:

пространство элементарных событий XY представим в виде совокупности прямоугольников с вершинами , если в результате испытания XY попало в прямоугольник (i,j), то эта случайная величина приняла значение . Вероятность наступления этого события равна:

точное значение мат. ожидания

n-мерный дискретный случай

- многомерная дискретная случайная величина

Найдем

Вероятностное пространство зададим в виде

Тогда

n-мерный непрерывный случай

Теорема 1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий

а) дискретный случай

б) непрерывный случай

Пусть n-произвольное число

Теорема 2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению мат.ожиданий.

По определению имеем т.к. случайные величины X и Y независимы, то

Коэффициент ковариации

Коэффициентом ковариации называется выражение

Эта формула верна, т.к. верна следующая формула.

Пусть

тогда

Если случайные величины XY независимы, то их коэффициент ковариации равен нулю, обратное в общем случае неверно.

Пример.

X - случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым мат.ожиданием

Y=X² (Y и X связаны функционально).

Найдем

Случайная величина называется нормированной случайной величиной, ее мат.ожидание равно 0, а дисперсия -1.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y - это число

Следствие:

Если X и Y независимы, то коэффициент ковариации равен 0, то

Доказать, если независимы, то

Свойства коэффициента корреляции

1.

По определению

т.к. всегда неотрицательна, то

2. Если , то с вероятность 1 X и Y связаны линейно.

Рассмотрим X*-Y*, отсюда M(X*-Y*)=0.

Если X и Y дискретные случайные величины, и дисперсия равна 0, то их сумма (разность) является постоянной

Пусть X и Y непрерывные случайные величины, то в соответствии с неравенством Чебышева

т.к.

Это неравенство и обозначает, что с вероятностью 1

откуда y=ax+b, где

Если коэффициент корреляции , то результаты опыта лежат на прямой

В общем случае Y можно представить в виде

Коэффициент корреляции является мерой близости линейной связи между случайными величинами X и Y: чем ближе коэффициент корреляции по модулю к 1, тем более тесно результаты конкретного испытания над X и Y соотносятся с прямой ax+b.

Нахождение плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин

Дискретный случай.

Пусть X и Y - две дискретные независимые величины данного испытания и Z=X+Y. Возможное значение Z=z=x+y всегда представляет сумму двух возможных значений слагаемых X=x и Y=y. По правилу сложения

где суммирование распространено на те пары, которые в сумме дают Z. В силу независимости X и Y

Приняв во внимание, что y=z-x

последняя сумма распространяется не на все значения x, а только на такие, для которых z-x равно одному из возможных значений y.

Если условиться, что P(y=z-x)=0, если z-x не принадлежит к числу возможных значений Y, то

Аналогично

Формулы (1) и (2) определяют композицию величин X и Y.

Или

Непрерывный случай.

Пусть X и Y независимые непрерывные случайные величины. Пусть f(x,y) - двумерная плотность вероятности двумерной случайной величины XY. Плотность совместного распределения f(x,y) в силу независимости X и Y имеет вид

Рассмотрим функцию распределения случайной величины Z.

Для того, чтобы имело место событие действительное число необходимо и достаточно, чтобы случайная точка Q(x,y) попала в область 1.

Тогда эта вероятность равна

Дифференцируя под знаком интеграла

Двумерное нормальное распределение

Двумерная случайная величина XY распределена нормально, если ее плотность вероятности f(x,y) имеет вид

Свойства двумерного нормального распределения

1.

2.

т.е. X и Y имеет одномерное нормальное распределение.

Сделаем подстановку

тут мы для краткости обозначили

Прибавляя и вычитая в показателе степени по e по

Сделаем подстановку

3. то X и Y независимые случайные величины, то плотность вероятности двумерная распадается на произведение одномерных

Найдем условную плотность вероятности

Подставляя в полученное выражение значения и получаем

Вывод: условная плотность вероятности оказалось нормальной с мат. ожиданием

и дисперсией, постоянной

Многомерное нормальное распределение

n-мерная непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, если ее многомерная плотность вероятности в матричном виде

Показать, что формула

в двумерном случае переходит в

для n=2 находим

Показатель степени при e

Найдем обратную матрицу матрице В

Проводим непосредственное доказательство

B - ковариационная матрица

Показать, что эта формула в двумерном случае совпадает с выражением, рассмотренном ранее.

Свойства n-мерного нормального распределения.

- определитель матрицы B - неотрицательное число.

По критерию Сильвестрова, если то все главные миноры матрицы B неотрицательные и определитель матрицы B неотрицателен.

Свойства многомерного нормального распределения

Все одномерные плотности вероятности - это плотности вероятности одномерной нормальной случайной величины с параметрами, определяемыми координатами вектора X и главной диагональю ковариационной матрицы B. Кроме того, подвектор вектора из k элементов, где также распределен нормально.

Если все коэффициенты корреляционной или ковариационной матрицы B (все ее недиагональные элементы) равны нулю, то показать самим, что компоненты случайной величины являются независимыми.

если ,то многомерная плотность распадается на произведение одномерных, значит независимы.

Теорема.

Проводим линейное преобразование Y=AX. A - квадратная невырожденная матрица, тогда вектор Y также имеет n-мерное нормальное распределение вида

Следствие: Из доказательства теоремы вытекает, что ковариационная матрица

Оператор A переводит произвольную область из арифметического пространства R_n в некоторую область того же пространства.

Рассмотрим произвольную область S, принадлежащую пространству элементарных событий случайной многомерной величины X. Ей соответствует область D в пространстве элементарных событий случайного вектора Y. При этом

Запишем эти вероятности

где |I| - якобиан перехода

Т.к. область S и соответственно D произвольны, то плотность вероятности случайного вектора x равна

n-мерная плотность вероятности случайного вектора Y равна

Преобразуем показатель степени e

Можно показать, что если нормальное распределение имеет данный вид, то B - ее ковариационная матрица

Следствие.

- многомерный нормальный вектор. A - прямоугольная матрица Тогда Y=AX имеет нормальное распределение вида

Y - m-мерный вектор.

Для определенности положим, что матрица A имеет вид

A = (A₁ A₂)

A₁ - квадратная матрица размером

A₂ - матрица размерности

Рассмотрим матрицу размерности . Считается, что m первых столбцов независимы.

равен определителю полученной квадратной матрицы и не равен нулю.

E - единственная квадратная матрица размерности

Следовательно, на основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение.

Z=CX

Компоненты вектора Z имеют вид

Пусть матрица А произвольная, но т.к. ее ранг равен m она содержит m линейно независимых столбцов. Путем перестановки столбцом соберем эти столбцы в первые m. И соответствующим образом пронумеруем компоненты вектора Х. Попадаем в предыдущий случай.

Предельные случайные последовательности.

Рассмотрим вероятностное пространство в котором задана счетная последовательность случайных величин, каждая из которых является измеримой

Покажем, что событие измеримо, т.е. имеет вероятность наступления. Действительно событие

Каждое из этих событий в пересечении принадлежит - алгебре. По определению - алгебры ей принадлежит и счетное перечисление этих событий, таким образом событие имеет вероятность наступления.

Пусть последовательность имеет предел при , который может быть постоянной или случайной величиной. В теории вероятности этот предел понимают следующим образом: под сходимостью последовательности к пределу понимают событие А которое может задаваться следующим образом:

1.

Событие А состоит из всех m, удовлетворяющих условию: для любого как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется

2. А: Если предел ,то

Для любого, как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется

3.Если предел случайная величина, то

Показать самим, что событие А с - алгебре и следовательно имеет вероятность наступления

любое событие измеримо, как доказывалось ранее измеримы, и следовательно имеет вероятность наступления. Разность -алгебре. Следовательно событие А имеет вероятность наступления.

Если предел константа, то эквиваленты 1 и 2, если случайная величина - то 1 и 3.

Существующие определения сходимости случайных величин.

Пусть имеется счетная последовательность случайных величин и пусть предел последовательности.

1. Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1, если Р(А)=1.

Это не вероятность достоверного события.

2. Сходимость по поверхности.

Счетная последовательность случайных величин сходится к по поверхности, если