Полупространство

Определение аномалий в точках ниже профиля позволяет продолжить наблюдения и получить данные в нижнем полупространстве, построить по ним вертикальный разрез аномального поля. Возможности пересчета магнитного поля вниз основаны на том, что значения магнитного потенциала и его производных, определенные в некоторой области, не занятой возмущающими источниками, могут быть найдены и внутри возмущающих масс. Там заданная функция сохраняет свою гармоничность, что обеспечивает однозначность операции.

Гармонической функцией называется дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа и регулярная на бесконечности. Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа в области своей гармоничности, называется потенциальной, она представляет собой скалярную функцию координат, градиент Н которой определяет полную напряженность векторного магнитного поля:

Н = grad U.

Важнейшей особенностью аналитических функций является возможность их аналитического продолжения в нижнее полупространство с целью выделения так называемых особых точек.

Изолированными особыми точками аналитической функции f(z) в области D называются такие, в которых эта функция теряет свойства аналитичности. В зависимости от того, как ведет себя функция f(z) в окрестности особой точки, различают устранимую особую точку, полюс и существенно особую точку.

Особая точка а называется устранимой при условии, что (конечен), она называется полюсом при условии, что , и называется существенно особой точкой в случае, если этого предела не существует. Гармонические функции не имеют существенно особых точек.

Особые точки – это точки, в которых функция теряет свою гармоничность. Для шара вне масс эта функция вместе со своими производными непрерывна и удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, за исключением точки центра шара. Центр шара, где функция теряет свою гармоничность, будет особой точкой этой функции.

Если рассмотреть модель уступа, то можно убедиться, что при любых значениях х функция остается непрерывной. Однако уже первая производная по х при х=0 терпит разрыв, т.е. эти точки являются углами уступа, они будут особыми точками функции. В любых других точках, в том числе и точках, находящихся внутри сечения тела, функция будет гармоничной. Можно убедиться, что любая точка излома поверхности возмущающего объекта (угловая точка) будет для потенциала и его производных, определенных вне его возмущающих масс, особой точкой. Определение местоположения точек дает возможность характеризовать глубину залегания возмущающего объекта и его форму.

Нахождение функции Z (x, y, z) в области более широкой, чем она задана, называется аналитическим продолжением этой функции. Американский геофизик С.Пирсон сравнивает аналитическое продолжение с процессом фокусирования в одну точку, так как с приближением к магнитному источнику в аномальном поле начинают подчеркиваться детали, которые на большом расстоянии от него были не заметны, и наоборот, при удалении от источника сохраняется только общая картина поля. Проявляется действие оптической линзы.

Заметим, что функция задана вне области магнитных источников во всем пространстве, она подчиняется уравнению Лапласа

,

а в окрестностях особых точек эта функция зависит от соотношения Пуассона

.

Исследованиями вопроса аналитического продолжения занимались многие ученые, предложено много различных формул для пересчета поля вниз. Заметим, что по использованию разнообразного математического аппарата эта теория занимает в магниторазведке первое место. Учитывая практические потребности, приведем простейшие формулы и способы решения задачи.

Пусть по прямолинейному профилю при помощи наблюдений получены аномалии Z. Требуется вычислить значение аномалии в точке на глубине h_0. Шаг по профилю (расстояние между точками, в которых берутся значения аномалий для последующих вычислений) обозначим через Δх. Г. Рейнбоу была получена формула в виде ряда

(10.14)

Эта формула выведена с использованием косинус-преобразования Фурье исходной функции с ограниченным спектром ω. Такая функция, согласно теореме В.А.Котельникова о передаче информации, может быть передана рядом дискретных значений в точках, следующих одна за другой на расстоянии .

На уровне –h, меньшем глубины залегания до ближайшей точки, магнитное поле с исходным уровнем связывается уравнением Пуассона

.

Применив спектральное преобразование к нему, получим формулу

. (10.15)

После вычисления интеграла, входящего в выражение (10.15), получим формулу

.

Умножим числитель и знаменатель на и вынесем из-под - знака суммы постоянный множитель, не зависящий от к, тогда

,

или, обозначая множитель перед суммой через К, а множитель за суммой – через К_к, получим формулу Рейнбоу

(10.16)

Коэффициенты для ряда своей формулы Рейнбоу получил при условии ∆х = h.

Для сравнения приводим одну из современных экспрессных формул. В.Н.Страхов, используя значения магнитного поля на уровне съемки, после разложения в ряд по конечным разностям получил следующую формулу:

. (10.17)

Как видим, данная формула требует знания исходной функции не только на пикетах наблюдений, но и в промежуточных точках построенного графика. Алгоритм любой вычислительной программы требует использования интерполяционных полиномов, от выбора которых зависит точность вычисления конечного результата.

Обычно шаг по профилю Δх равен h₀. Уменьшение шага, т.е. сгущение точек, сильно понижает точность результатов, возрастает влияние случайных ошибок. Увеличение шага понижает точность результата из-за того, что используемые при вычислении аномалии недостаточно отражают закономерность изменения функции по профилю.

Обозначим через h глубину центра намагниченного тела. Из-за дискретности используемых при вычислении значений аналитическое продолжение дает удовлетворительные результаты лишь при глубинах h₀<0,5h. При h₀>0,5h закономерность изменений аналитически продолженных аномалий разрушается и результаты теряют смысл.

Если на основное поле, которое будет подвергаться трансформации, налагается небольшое, резко локализованное поле, то это поле в предварительном порядке должно быть исключено. Это может быть сделано при помощи подбора условного аппроксимирующего тела.

Z(0,-h) Z(0,0,-h)

Z(0,0) Z(0,0,0) Z(0,-h,0)

Z(-h,0) Z x Z(-h,0), 0) Z(h,0,0)

Z(0,h) Z(0,0,h) Z(0,h,0)

а в

z z

Рис. 10.5. Расположение отсчетных точек в методе сеток.

а – двухмерный случай; в – трехмерный случай

Относительно простым способом пересчета аномалий вниз является вычисление по формуле Гаусса. Этот способ называют иногда «методом сеток», он основан на теореме о среднем значении гармонической функции, которая использует значения, расположенные на окружности. Применительно к условиям двухмерной задачи значение гармонической функции в центре окружности равно интегральному среднему ее значений, взятых по окружности:

Заменив интегрирование суммированием и ограничиваясь наблюдениями на профиле Z(h, 0), Z(0, 0), Z(-h, 0), пересчитанными вверх Z(0, -h), Z(0, h) (рис.10.5,а), получаем

(10.18)

Формула (10.18) легко реализуется на практике.

В случае трехмерной задачи интегральное среднее по поверхности сферы заменяют средними арифметическими по шести точкам на этой поверхности (рис. 10.5,в).

а J

J

с

в J

Рис. 10.6. Изолинии магнитного поля в вертикальной плоскости для различных геологических моделей при намагниченности:

а, с -вертикальной, в –косой

Получив распределение поля на разных уровнях ниже поверхности наблюдений, можно построить карту системы изолиний, которые дадут возможность определить форму и глубину залегания намагниченных объектов. По результатам пересчета можно также построить графики аномального поля в вертикальной плоскости, по которым выделяются участки усиления амплитуды аномалий и оконтуриваются размеры их локализации в пространстве.

При анализе характера изолиний отыскиваются места их пересечения или сгущения. После выделения окрестностей мест точек пересечения, так называемых особых точек, переходят к оценке формы магнитного источника. Картина распределения изолиний напряженности магнитного поля для тел изомерной формы с вертикальной намагниченностью (а, с) и косой намагниченностью (в) представлена на рис. 10.6. На этом же рисунке демонстрируется магнитное поле для мощных пластов различной конфигурации.

Рис. 10.7. Определение положения верхней кромки магнитоактивных тел по методу В.Н.Страхова (интерпретация М.И.Лапиной): 1 – положительные и отрицательные значения поля D Т в пересчете на нижний уровень; 2 – положительные значения изолиний DТ в вертикальной плоскости; 3 – отрицательные значения изолиний DТ в вертикальной плоскости; 4 – поверхность магнитоактивного объекта

Практический пример пересчета магнитного поля в нижнее полупространство для определения глубины залегания магнитоактивных пород гранитного слоя фундамента на сопредельном участке Балтийского моря приведен на рис. 10.7. Полученные результаты подтверждены данными массовой интерпретации.