Примеры решения задач. Задача 1.Два одинаковых шарика, несущих равные заряды, подвешены на нитях равной длины к одной точке

Задача 1.Два одинаковых шарика, несущих равные заряды, подвешены на нитях равной длины к одной точке. Шарики опускают в керосин. Чему равна плотность материала шариков, если угол расхождения нитей в воздухе и в керосине одинаков? Плотность керосина ρ_к=0,8 г/см³, его диэлектрическая проницаемость ε = 2.

Решение: Когда система находится в воздухе, то на каждый шарик действует три силы (Рис.1.16 а): сила тяжести m сила натяжения нити и кулоновская сила _. Так как шарики находятся в равновесии, то сумма сил равна нулю:

.

Это означает, что при сложении сил векторы образуют прямоугольный треугольник (Рис.1,16. б). Из этого треугольника имеем: F₁ = mg tgα

Рисунок 1.16. К задаче 1 При погружении в керосин появляется

ещё архимедова сила F_a, а сила натяжения нити T₂ и кулоновская сила F₂ уменьшаются по модулю. Шарики находятся в равновесии, значит,

.

Отсюда следует, что

F₂ = (mg – F_a) tgα.

Отношение модулей сил и есть диэлектрическая проницаемость среды:

.

Отсюда

г/см³.

Задача 2. В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью . Определите радиус орбиты. Заряд электрона е=1,6 Кл, его масса m=9,1 кг.

Решение: В простейшей модели атома водорода считается, что электрон с зарядом -е движется по круговой орбите вокруг положительно заряженного ядра с зарядом +е. На электрон действует кулоновская сила притяжения к ядру F. Силой тяжести электрона можно пренебречь, так как она намного меньше F.

По второму закону Ньютона

,

Откуда

=1,4

Задача 3.В сильном однородном электрическом поле напряженностью на одной силовой линии в точках 1и 2, расположенных на расстоянии l₀друг от друга, находятся протон р и электрон е. Начальная скорость обеих частиц равна нулю. Чему равно расстояние между частицами спустя время τпосле начала движения?

Решение: Направим ось Хпо направлению силовой линии , а начало отсчета совместим с точкой 2, где вначале находился электрон. Пренебрегая взаимодействием частиц друг с другом (сильное поле), можно считать движение электрона и протона равноускоренным. Тогда координата протона в момент времени τ равна:

, Рисунок 1.17.

где е- заряд, m_р- масса протона. К задаче 3

Координата электрона ,

где m_е- масса электрона. Искомое расстояние

,

так как m_рмного больше m_е.

Задача 4. В вершинах квадрата со стороной a расположены два положительных и два отрицательных заряда, значение каждого из них Q (Рис.1.18 а, б). Определить напряжённость электрического поля в центре этого квадрата.

Решение: Поле создано четырьмя точечными зарядами. Поэтому напряжённость следует определять с помощью принципа суперпозиции:

= ₁+ ₂+ _{3 4}.

Сначала следует показать на рисунке направление всех векторов _i зависящее от знака заряда Q_i.

Рисунок 1.18. К задаче 4

Расстояние от любого из зарядов до рассматриваемой точки

.

Рассмотрим распределение зарядов, показанное на рисунке 1.18 а. Напряжённости ₂ и ₄ полей, созданных вторым и четвёртым зарядами в точке С, сонаправлены и равны по модулю: E₂=E₄. Аналогично,E₁=E₃. Поэтому напряженность результирующего поля

Векторы ₁ и ₂ также равны по модулю и направлены ортогонально друг другу (по диагоналям квадрата), значит, результирующий вектор направлен вертикально вниз и тогда

E = 4E₁ cos 45^o.

Напряженность поля, созданного каждым из зарядов,

Заряд Q_i следует брать по модулю, так как знак каждого из зарядов был учтён при изображении соответствующего вектора _i. Окончательно

.

При расположении зарядов, показанном на рисунке 1.19 б, Е = 0.

Задача 5.Кольцо из проволоки радиусом R= 10 см имеет отрицательный заряд q = -5нКл. Найти напряжённости Е электрического поля на оси кольца в точках, расположенных от центра кольца на расстояниях L, равных 0, 5, 8, 10 и 15см. Построить график E = f(L). На каком расстоянии от центра кольца напряжённость Е электрического поля будет иметь максимальное значение?

Решение. Возьмем элемент кольца dl. Этот элемент имеет заряд dq. Напряженность электрического поля, заданная этим элементом в точке А, будет .

Вектор направлен по линии x, соединяющей точку А с элементом кольца dl (рис.1.19). Для нахождения напряженности поля всего кольца надо векторно сложить от всех элементов. Вектор d можно разло- жить на две составляющие d _n и d _τ. Составляющие d _n каждых двух диаметрально расположенных элементов взаимно уничтожаются, поэтому . Но dE_τ=dEcosα= , что дает Рисунок 1.19. К задаче 5 .Учитывая, что , имеем

(1)

Если L>>R, то , т.е. на больших расстояниях заряженное кольцо можно рассматривать как точечный заряд.

Выразим величины x и L через угол α. Имеем R = x sinα, L = x cos α; теперь формула (1) примет вид sin²α. Для нахождения максимального значения напряженности Е возьмем производную и приравняем ее к нулю: или tg²α = 2. Тогда напряженность электрического поля имеет максимальное значение в точке А, расположенной на расстоянии см от центра кольца. Подставляя в (1) числовые данные, составим таблицу и построим график.

Задача 6.На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости плотностью σ= 0,1 нКл/см² положена круглая пластинка. Плоскость пластинки составляет с линиями напряженности угол 30^о. Определите поток Ф_Е вектора напряженности через эту пластинку, если ее радиус r равен 15 см.

Решение. Поток вектора напряженности Ф_Е через пластинку площадью равен

Ф_Е = E S cosα.

Напряженность электростатического поля, создаваемого заряженной плоскостью (рис.1.20) с поверхностной плотностью заряда σ:

.

Площадь пластинки S = πr², где r – Рисунок 1.20. К задаче 6 радиус пластинки.

Угол α, образуемый нормалью к пластинке и вектором равен 60^о. Следовательно,

.

Вывод: Напряженность является силовой характеристикой электрического поля. Она определяется зарядом – источником данного электрического поля и не зависит от пробного заряда q, внесенного в это поле. Очень важно определить правильно какой заряд является пробным, а какой является источником поля.

Контрольные вопросы второго уровня (сборник задач).

1. Три одинаковых положительных заряда q₁=q₂=q₃=1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд q₄ нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах? [0,58 нКл]

2. Даны два шарика массой m=1 г каждый. Какой заряд q нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного отталкивания зарядов уравновесила силу взаимного притяжения шариков по закону тяготения? Рассматривать шарики как материальные точки. [86,7 Кл]

3. Два шарика массой m=0,1 г каждый подвешены в одной точке на нитях длиной l=20 см каждая. Получив одинаковый заряд, шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол α=60 . Найти заряд каждого шарика. [50,1 нКл]

4. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии r =60 см. Сила отталкивания F₁ шаров равна 70 Н. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной F₂ =1,6 Н. Вычислить заряды q₁ и q₂, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними. [0,14 мкКл; 20 нКл]

5. Определите напряженность E поля, создаваемого зарядом, равномерно распределенным по тонкому прямому стержню с линейной плотностью τ = 200 нКл/м, в точке, лежащей на продолжении оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего конца. Длина стержня l = 40 см. [6 кВ/м]

6. С какой силой, приходящейся на единицу площади, отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью за­ряда σ = 2 мкКл /м²? [0,23 Па]

7. Определите угловую скорость вращения четырех зарядов -q массой m, расположенных в углах квадрата со стороной d, движущихся по круговым орбитам. Центры орбит совпадают с центром квадрата. В центре квадрата расположен заряд +q. Взаимное расположение зарядов при движении не изменяется. [ ]

8. Тонкая бесконечная нить согнута под углом 90°. Нить несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью τ = 1 мкКл/м. Определите силу, действующую на точечный заряд q = 0,1 мкКл, расположенный на продолжении одной из сторон и удаленный от вершины угла на а = 50 см. [4 мН]

9. Тонкое полукольцо радиусом R=10 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ = 1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится положительный точечный заряд, взаимодействующий с полукольцом с силой 3,6 мН. Найдите величину точечного заряда. [20 нКл]

10. Три одинаковых точечных заряда q₁ = q₂=q₃= 2 нКл находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 10 см. Определите модуль и направление силы F, действующей на один из зарядов со стороны двух других. [3,6 мН]

11. Четыре одинаковых заряда q₁ = q₂ = q₃ = q₄ = 40 нКл закреплены в вершинах квадрата со стороной a = 10 см. Найдите силу F, действующую на один из этих зарядов. [2,75 мН]

12. На расстоянии d = 20 см находятся два точечных заряда q₁ = -50 нКл и q₂ = 100 нКл. Определите силу F, действующую на заряд q₃ = -10 нКл, удаленный от обоих зарядов на одинаковое расстояние, равное d. [0,195 мН]

13. Расстояние dмежду двумя точечными зарядами q₁ = 2 нКл и q₂ = 4 нКл равно 60 см. Определите точку, в которую нужно поместить третий заряд q₃ так, чтобы система зарядов на­ходилась в равновесии. Определите размер и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие? [-0,7 нКл; 0,246 м от меньшего заряда]

14. На тонком кольце равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 0,2 нКл/см. Радиус кольца R = 15 см. На срединном перпендикуляре к плоскости кольца находится точечный заряд q= 10 нКл. Определите силу F, действующую на точечный заряд со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на: 1) а, = 20 см; 2)a₂=10 м. [1)1,6 мкН; 2)0,017 мкН]

15. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R = 10 см, равномерно распределен заряд q = 20 нКл. Определите напряженность Е поля, создаваемого этим зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги, если длина нити равна четверти длины окружности. [16 кВ/м]

16. Два длинных тонких равномерно заряженных (τ = 1 мкКл/м) стержня расположены перпендикулярно друг другу так, что точка пересечения их осей находится на расстоянии a= 10 см и b= 15 см от ближайших концов стержней. Найдите силу F, действующую на заряд q = 10 нКл, помещенный в точку пересечения осей стержней. [0,1 мкН]

17. Параллельно бесконечной плоскости, заряженной с поверхностной плотностью σ=4 мкКл/м², расположена бесконечно длинная прямая нить, заряженная с линейной плотностью τ=100 нКл/м. Определите силу F, действующую со стороны плоскости на отрезок нити длиной l=1 м. [2,26 пН]

18. Две одинаковые круглые пластины площадью S = 400 см² каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины q₁ = 400 нКл, другой q₂= -200 нКл. Определите силу F взаимного притяжения пластин, если расстояние между ними: а) r₁ = 3 мм; б) r₂ = 10 м. [а) 0,113 Н; б) 7,2 мкН]

19. На бесконечном тонкостенном цилиндре диаметром d = 20 см равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ = 4 мкКл/м². Определите напряженность поля в точке, отстоящей от поверхности цилиндра на а = 15 см. [129 кВ/м]

20. Две длинные прямые параллельные нити находятся на расстоянии d= 5 см друг от друга. На нитях равномерно распределены заряды с линейными плотностями τ₁ = -5 нКл/см и τ₂= 10 нКл/см. Определите напряженность Е электрического поля в точке, удаленной от первой нити на расстояние r₁ = 3 см и от второй на расстояние r₂ = 4см. [54 В/м]

21. К бесконечной равномерно заряженной вертикальной плоскости подвешен на нити одноименно заряженный шарик массой m = 50 мг и зарядом q = 0,6 нКл. Сила натяжения нити, на которой висит шарик, F= 0,7 мН. Найдите поверхностную плотность заряда σ на плоскости. [20,6 мкКл/м²]

22. С какой силой (на единицу длины) взаимодействуют две заряженные бесконечно длинные параллельные нити с одинаковой линейной плотностью заряда τ = 20 мкКл/м, находя­щиеся на расстоянии R = 10 см друг от друга? [72 Н/м]

23. Бесконечная плоскость несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью σ = 1 мкКл/м². На некотором расстоянии от плоскости, параллельно ей, расположен круг радиусом r = 10 см. Вычислите поток вектора напряженности через этот круг. [1,78 кВ • м)

24. В центре сферы радиусом r =20 см находится точечный заряд q = 10 нКл. Определите поток вектора напряженности через часть сферической поверхности площадью S=20 см². [4,5 В м]

25. В вершинах конуса с раствором телесного угла Ω = 0,5 стер находится точечный заряд q = 30 нКл. Вычислите поток вектора напряженности через площадку, ограниченную линией пересечения поверхности конуса с любой другой поверхностью. [135 В • м]

26. Прямоугольная плоская площадка со сторонами а = 3 см и b = 2 см находится на расстоянии r = 1 м от точечного заряда q = 1 мкКл. Площадка ориентирована так, что линии напряженности составляют угол α = 30° с ее поверхностью. Найдите поток вектора напряженности через площадку. [2,7 В м]

27. Электрическое поле создано точечным зарядом q = 0,1 мкКл. Определите поток вектора напряженности через круглую пластинку радиусом r =30 см. Заряд равноудален от краев площадки и находится на расстоянии а = 40 см от ее центра. [1,13 кВ м]

28. Электрическое поле создано бесконечной прямой, равномерно заряженной нитью (τ = 0,3 мкКл/м). Определите поток вектора напряженности через прямоугольную площадку, две большие стороны которой параллельны заряженной нити и одинаково удалены от нее на расстояние r=20 см. Стороны площадки имеют размеры а = 20 см, b = 40 см. [ 1,08 кВ м ]

29. Точечный заряд q расположен в центре куба со стороной d. Чему равен поток вектора напряженности через одну грань куба? [q/(6ε₀)]

30. Заряд qпомещен в один из углов куба. Чему равен поток вектора напряженности через каждую из граней куба? [q/(24ε₀), 0]

Контрольные вопросы третьего уровня (тесты)

1. Какое из приведенных ниже выражений есть определение напряженности электрического поля?

2. Установите соответствие между определением физической величины и его математическим выражением.

3. Напряженности электрического поля заряженного тела поставьте в соответствие математическое выражение.

4. Как изменится по модулю напряженность электрического поля точечного заряда при уменьшении расстояния до заряда в 4 раза?

5. Каково направление вектора напряженности электрического поля в точке О, созданного равными по модулю зарядами +q?

6. В каких из четырех случаев различного распределения зарядов, приведенных ниже, напряженность электростатического поля в точке А равна нулю?

1) 2) 3) 4)

7.

8. Укажите, на каком графике правильно показана зависимость напряженности электростатического поля Е от расстояния r для тонкой равномерно заряженной бесконечной нити r?

а) б) в) г)

9. Укажите, на каком графике правильно показана зависимость напряженности электростатического поля Е от расстояния r для равномерно заряженной проводящей сферы радиусом R.

а) б) в) г)

10. Какой из приведенных ниже графиков отражает зависимость напряженности электростатического поля Е от расстояния r для равномерно заряженного по объему шара радиусом R?

а) б) в) г)