Математическая модель.

Ось ОХ направим вертикально вверх (рис. 1). На оси ОХ выделим элемент с координатами х и х + Δх. Тогда приращение энергии в направлений оси х за время Δt будет

 

(7.1)

 

С другой стороны, согласно закону сохранения энергий,

(7.2)

Левые части (7.1) и (7.2) равны, поэтому

 

где ρ– плотность грунта [кг/м3];

с – массовая теплоемкость грунта [кдж/кг.град];

λ – коэффициент теплопроводности грунта [вт/м·град.].

При х = 0 задается температура . На поверхности земли происходит конвективный теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой (воздух).

В основу изучения конвективного теплообмена положен закон Ньютона-Рихмана

 

 

где q – плотность теплового потока, вт/м2;

θ0 – температура воздуха, 0С;

θгр – температура поверхности грунта,0С;

α – коэффициент теплоотдачи, вт/(м2·град);

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемый единицей поверхности тела окружающей среде за единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т.е.

 

(7.3)

 

Равенство (7.3) является математической формулировкой граничного условия третьего рода; оно является действительной для каждого момента времени t.

называется граничным условием первого рода.

Получена задача: найти решение нестационарного параболического уравнения со смешанными граничными условиями, т.е.

 

(7.4)

 

θ(t,0) = θ1 = const (7.5)

 

(7.6)

 

(7.7)

 

Теорема 1. При определенных условиях на ρ(θ), с(θ) и λ(θ) задача (7.4) - (7.7) имеет единственное решение.

Выводы:

5.3. Приближенный метод решения задачи (7.4) – (7.6)

Решение задачи (7.4) – (7.6) зависит от двух переменных , где t – время, час; х – координата точки грунта, м. Поэтому задача (7.4) – (7.6) решается в области

Q= (0, Тmax)·(0,H),

Сетка. Отрезок [0, H] разбиваем на N равных частей с шагом h = H/N, а отрезок [0, Tmax] на М равных частей с шагом ∆t = Tmax /M. Тогда получается сетка (рис. 2).

 

  В рис.2 «крестиками» - х обозначены граничные узлы, а «ноликами» - 0 обозначены внутренние узлы.     Н х х х х х   х о о о о   х о о о о   х х х х х t Тmax Рис. 2

Аппроксимация выражений

 

 

т.е. функций ρ(θ) и с(θ) определяются на нижних слоях. В начальный момент времени, т.е. при

.

Вместо задачи (7.4) – (7.7) решается приближенная задача

 

(7.8)

 

(7.9)

 

(7.10)

В системе (7.8) i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.








Дата добавления: 2015-02-13; просмотров: 538; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2022 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.011 сек.