Математическая модель.
Ось ОХ направим вертикально вверх (рис. 1). На оси ОХ выделим элемент с координатами х и х + Δх. Тогда приращение энергии в направлений оси х за время Δt будет
(7.1)
С другой стороны, согласно закону сохранения энергий,
(7.2)
Левые части (7.1) и (7.2) равны, поэтому
где ρ– плотность грунта [кг/м3];
с – массовая теплоемкость грунта [кдж/кг.град];
λ – коэффициент теплопроводности грунта [вт/м·град.].
При х = 0 задается температура . На поверхности земли происходит конвективный теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой (воздух).
В основу изучения конвективного теплообмена положен закон Ньютона-Рихмана
где q – плотность теплового потока, вт/м2;
θ0 – температура воздуха, 0С;
θгр – температура поверхности грунта,0С;
α – коэффициент теплоотдачи, вт/(м2·град);
Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемый единицей поверхности тела окружающей среде за единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т.е.
(7.3)
Равенство (7.3) является математической формулировкой граничного условия третьего рода; оно является действительной для каждого момента времени t.
называется граничным условием первого рода.
Получена задача: найти решение нестационарного параболического уравнения со смешанными граничными условиями, т.е.
(7.4)
θ(t,0) = θ1 = const (7.5)
(7.6)
(7.7)
Теорема 1. При определенных условиях на ρ(θ), с(θ) и λ(θ) задача (7.4) - (7.7) имеет единственное решение.
Выводы:
5.3. Приближенный метод решения задачи (7.4) – (7.6)
Решение задачи (7.4) – (7.6) зависит от двух переменных , где t – время, час; х – координата точки грунта, м. Поэтому задача (7.4) – (7.6) решается в области
Q= (0, Тmax)·(0,H),
Сетка. Отрезок [0, H] разбиваем на N равных частей с шагом h = H/N, а отрезок [0, Tmax] на М равных частей с шагом ∆t = Tmax /M. Тогда получается сетка (рис. 2).
В рис.2 «крестиками» - х обозначены граничные узлы, а «ноликами» - 0 обозначены внутренние узлы. | Н х х х х х х о о о о х о о о о х х х х х t Тmax Рис. 2 |
Аппроксимация выражений
т.е. функций ρ(θ) и с(θ) определяются на нижних слоях. В начальный момент времени, т.е. при
.
Вместо задачи (7.4) – (7.7) решается приближенная задача
(7.8)
(7.9)
(7.10)
В системе (7.8) i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.
Дата добавления: 2015-02-13; просмотров: 699;