Математическая модель

Строго говоря, решение этой задачи приводит к дифференциальному уравнению с частными производными, так как температура в поперечном сечений трубопровода не вполне постоянна и является функцией расстояния х и расстояния поверхности стержня.

Однако, если трубопровод достаточно тонкий и если теплопроводность его велика, то мы можем без существенной ошибки пренебречь температурными градиентами в направлениях перпендикулярных к оси трубопровода и принять температуру постоянной в каждой точке поперечного сечения, перпендикулярного оси Ох. При таком допущении температура является функцией только одного независимого переменного х и распределение температуры может быть описано обыкновенным дифференциальным уравнением.

Пусть длина стержня равна l м, периметр поперечного сечения p м, площадь поперечного сечения Q м². Исследуем процесс распространения тепла в элементарном отрезке длиной dx на расстоянии х от того конца стержня, температура которого t₁. Количество тепла проходящего за время dt через сечение трубопровода находящееся на расстоянии х от начало трубопровода, согласно теории теплопередачи, будет равно:

Количество тепла, прошедшее за время dt через сечение, находящееся на расстоянии х + dx от начала, будет равна:

Участок стержня, заключенный между сечениями, отстоящими от начала на расстояниях х и х + dx, вследствие теплопроводности, приобретает за время dt количество тепла, равное разности указанных количеств, т.е.:

За то же время потеря тепла от этого же участка в окружающую среду будет равна:

Но так как изучаемый нами процесс является стационарным, то:

Окончательно мы приходим к следующему дифференциальному уравнению:

В итоге получена задача:

Это уравнение с постоянными коэффициентами. Его общий интеграл будет:

Используя граничные условия, составим систему:

откуда

Подставляя значения С₁ и С₂ получим:

Выделим элемент длины dх, находящийся на расстояний х от левого конца, и примем его температуру равной . За время ∆t через левую границу этого элемента пройдет количество тепла

а через правую на расстоянии х+dх от конца

Таким образом, выделенный участок приобретает за время t количество тепла, равное разности

Вместе с тем потеря тепла этого элемента через поверхности в окружающую среду равна

Вследствие предположения о стационарности процесса эти количества равны, т.е.

откуда

(4.1)

Пусть на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура . Тогда краевые условия имеют вид.

, (4.2)

Численный пример. Пусть a = 10

l = 300 ккал/м×час×град

тогда

При этом случае получится зависимость

4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)

Отрезок разбиваем на n равных частей с шагом . Тогда получится сетка .

Обозначим

Мы знаем, что

При малых h справедливо соотношение

или

- правая разностная производная, - левая разностная производная.

Аналогично получится приближенная формула

т.е. считаем, что площадь поперечного сечения Q постоянная величина вдоль трубопровода. На основе этих формул из (4.1) получается приближенное неравенство.

Предполагая, что h малая величина составляем равенства

(4.3)

i=1, 2, …, n-1.

, . (4.4)

где .

(4.3) – (4.4) является разностной задачей.

Теорема – 1. Если , то решение разностной задачи (4.3) – (4.4) сходится к решению (4.1) – (4.2) при и справедливо неравенство

(4.5)

где C- константа, зависящая от начальных данных.

Из (4.5) становится ясно, что при малом h в качестве можно взять решение приближенной задачи (4.3) – (4.4).

4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки

Из (4.3) – (4.4) получаем равенства

(4.6)

где

(4.6) – называется трехточечной разностной схемой. Это есть система n-1 линейных алгебраических уравнений c неизвестными. Данная система имеет единственное решение.