Математическая модель задачи.

Текущая обводненность продукции скважин определяется следующим соотношением: дебит воды, добываемой одновременно с нефтью из всех скважин;

q_н – дебит нефти.

Понятно, что . Так как кривая на рис.3.1 выражает зависимость .

Поскольку получим . Из предыдущего равенства имеем

. или . (3.1)

. (3.2)

Полученная задача Коши (3.1) – (3.2) решается различными численными методами.

Теория вытеснения нефти водой, развитая Баклеем и Левереттом, изложена в [4]. В качестве аппроксимирующей функций зависимости приведенной в рис.6 используем выражение

(3.3)

(3.3) называется функцией Баклея – Леверетта, где а – положительная константа.

3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)

Поясним основные понятия, возникающие при использовании численных методов.

Введем по переменной t равномерную сетку с шагом h>0, т.е. рассмотрим множество точек .

1. Метод Эйлера. Уравнение (3.1) заменяется разностным уравнением

Где

Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле .

Погрешность метода. , где – константа, зависящая от правой части дифференциального уравнения (3.1). В этом случае метод имеет первый порядок точности.

2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.

Предположим, что приближенное значение решение исходной задачи в точке уже известно. Для нахождения поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера вычислим промежуточное значение , а затем воспользуемся разностным уравнением , из которого явным образом найдем искомое значение .