Несобственный интеграл с бесконечными пределами
Для того, чтобы приближенно вычислить сходящийся несобственный интеграл
с точностью до ε, представляют его в виде
где выбирают настолько большим, чтобы имело место неравенство
Затем определенный интеграл
вычисляют по одной из квадратурных формул с точностью ε/2 и приближенно полагают
В практических расчетах найти величину во многих случаях затруднительно, поэтому поступают следующим образом. Сначала задается определенный шаг и вычисляются интегралы.
и проверяется неравенство если да, то в качестве значении исходного интеграла берется , если нет, то вычисляется интеграл и проверяется неравенство
и так далее.
Задача 5. Расчет технологических показателей слоисто-неоднородного пласта. Нефтяное месторождение разрабатывается с применением заводнения по однородной схеме расположения скважин. Элемент однорядной схемы расположения скважин, содержащий 0,5 добывающий и 0,5 нагнетательной скважины (всего одну скважину), показан на рис. 45, откуда видно, что расстояние между линией нагнетания и линией отбора l=500м, а расстояние между скважинами (ширина элемента) м. Продуктовый пласт неоднородный. Его можно представить модельно
Рис. 8
слоистого пласта [16], состоящего из тонких гидродинамических изолированных пропластков, абсолютная проницаемость которых, подчиняется логарифмически нормальному закону с плотностью распределения по формуле
При этом средняя проницаемость пласта общая толщина пласта h0 = 18,75м, охваченная заводнением толщина пласта h = 15м (коэффициент охвата 0,8). Принимается, что пористость всех пропластков слоистого пласта m = 0,2, начальная насыщенность связанной водой Sсв = 0,1. Вязкость нефти в пластовых условиях μн = 2мПа×С, вязкость воды μв = 1мПа×С.
Рис. 9
Будем считать, что вытеснение нефти водой из отдельных пропластков происходит в соответствии с вытеснением по модели поршневого вытеснения (рис.9), причем во всех пропластках остаточная нефтенасыщенность постоянная, равная Sпост = 0,45. В соответствии с моделью поршневого вытеснения нефти водой относительные проницаемости нефти впереди фронта вытеснения kн и для воды позади фронта вытеснения kв постоянны и одинаковы для всех пропластков, так что kн = 1, kв = 0,5.
Разработка осуществляется при постоянном перепаде между линиями нагнетания и отбора, равном Предполагается, что за весь рассматриваемый период ни один элемент системы не выбивает из разработки. Требуется рассчитать изменение в течение 15 лет следующих показателей разработки месторождения: добыча нефти, обводненность продукции и текущей нефтеотдачи.
Решение. Для того, чтобы получить формулы для расчета дебитов нефти и воды с учетом вероятностно-статистического распределения пропластков по проницаемости, сложим все пропластки в один «штабель», в нижней части которого расположен пропласток с «бесконечно большой», а вверху – с нулевой проницаемостью. Поскольку принимается, что абсолютная проницаемость некоторого пропластка в слоистом пласте может быть «бесконечно большой», обводнение такого слоистого пласта начнется в момент закачки воды, т.е. в момент времени t = 0. Другие пропластки, имеющие конечную проницаемость, будет обводняться в соответствующие моменты времени. Время t обводнения пропластка, имеющего проницаемость определяется по формуле [4]:
Расход воды, закачиваемой в обводнившую часть слоистого пласта, равна
Нефть добывается из необводнившихся, пропластков с проницаемостью . Формула для дебита нефти из слоистого пласта имеет вид
Дебит жидкости Обводненность добываемый из слоистого пласта имеет продукции
Чтобы определить изменение во времени текущей нефтеотдачи элемента hэ=hэ(t), можно определить накопленную добычу нефти элемента по формуле
и затем разделить ее на геологические запасы нефти в элементе. Так как добыча нефти исчисляется в объемных единицах, приведенных к пластовым условиям, будем определять не геологические запасы нефти элемента в массовых единицах, а объем нефти Vнэ в пластовых условиях в элементе пласта. Имеем
Текущая нефтеотдача составит hэ = θнэ/Vнэ.
Определение показателей разработки месторождения. Согласно плану разбуривания и обустройства месторождения ежегодно в течение шести лет, т.е. в течение срока ввода месторождения в разработку, в эксплуатацию передается по 50 элементам. Всего за 15 лет будет введено в эксплуатацию 300 элементов. Для простоты считаем, что добыча нефти с разбуриваемых и обустраиваемых элементов будет происходить с начала каждого года. Для определения добычи нефти и воды в целом по месторождению суммируются добыча нефти воды по элементам. Обводненность добываемой из месторождения продукции вычисляют по формуле
всего по месторождению в разработку вовлекается объем нефти в пластовых условиях
Коэффициент охвата по месторождению в целом . Поэтому общий объем нефти в пласте
Нефтеотдача по месторождению в целом определяется как отношение объема накопленной добычи нефти
к первоначальному объему нефти в пласте Vн.
Задача 6. При разработке нефтяного месторождения, имеющего площадь нефтеопасности S = 2494,08×104 м2, использована площадное заводнение при семиточечной схеме расположения скважин. Расстояние между двумя добывающими или между добывающей и нагнетательной скважинами . Радиус нагнетательной скважины rc = 0,1м. Продуктивный пласт неоднородный по толщине и его можно представить моделью слоисто-неоднородного пласта. Плотность распределения абсолютной проницаемости соответствует логарифмическому закону. При этом k = 0,25×10-12 м2, σ = 0,5. Общая толщина пласта составляет 25м, а толщина пропластков, вовлекаемых в разработку, h = 20м. Пористость нефтенасыщенных пород m = 0,23, вязкость нефти в пластовых условиях μн = 2,5мПа×С, вязкость воды μв = 1мПа×С. Насыщенность пласта связанной водой Sсв = 0,1. Вытеснение нефти водой происходит поршневым способом, при этом для всех пропластков kн =1, kв =0,4, Sност =0,4, так что μв/ kв = μн/ kн. Перепад давления между нагнетательной скважиной и контуром отбора радиусом R составляет ∆ρс = 2×106Па.
Скорость ввода элементов в разработку – 10 элементов за год, срок ввода месторождения в разработку – 6 лет. Таким образом, всего в разработку вводится 60 элементов.
Требуется определить изменение в течение 15 лет следующих показателей:
1. Добычи нефти, обводненности продукции и текущей нефтеотдачи для одного элемента разработки.
2. Добычи нефти, воды и текущей нефтеотдачи для месторождения в целом.
Решение. Проницаемость k* пропластков, обводнившихся к моменту времени t определяется по формуле:
(32)
Будем приближенно считать, что при разработке элемента семиточечной системы происходит радиальное вытеснение нефти водой, закачиваемой в нагнетательную скважину, к «контуру отбора», имеющему форму окружности радиуса R (рис.10), на которой находится добывающие скважины.
Элементарный расход воды dqi, поступающей в i-й пропласток толщиной dhi, в этом случае составит
Рис. 10
Будем предполагать, что в некоторый момент времени t фронт воды, вытесняющий нефть из i-го пропластка, продвинулся на расстояние rв от начала координат (рис. 10).
Разделяя переменные в приведенном выражении и интегрируя в пределах rc £ r £ rв, получаем
где – давление на фронте вытеснения нефти водой. Впереди фронта вытеснения движется нефть. Поэтому после интегрирования аналогичного выражения для нефти в пределах rв £ r £ R имеем
где Рк – давление на контуре добывающих скважин. Из последних двух равенств следует, что
(30)
где Рс – давление на нагнетательной скважине,
Рк – давление на добывающей скважине.
Для того, чтобы получить формулы для расчета дебитов нефти и воды с учетом вероятностно-статистического распределения пропластков по проницаемости, сложим все пропластки в один «штабель» в нижней части которого расположен пропласток с «бесконечно большой», а вверху – с нулевой проницаемостью. Тогда общая толщина h слоев с проницаемостью не ниже k0, отсчитываемая от кровли штабеля пропластков-модели слоистого пласта, будет выражаться по формуле соответствующего вероятностно-статистического закона распределения проницаемости
где Н – общая толщина слоистого пласта. Дифференцируя, равенство имеем
где f(k) – вероятностно-статистическая плотность. То есть dh = Hf(k)dk. Учитывая это, на основе формулы (30) получим следующие выражения для дебита нефти, приведенного к пластовым условиям и воды:
Выражение для элементарного расхода воды, поступающей в i-й пропласток можно написать, рассматривая согласно рис.47 характер перемещения со временем фронта вытеснения нефти водой i-м пропластке и распределения в нем остаточной нефтенасыщенности пласта связанной водой имеем
(31)
Приравнивая правые части (30) и (31) и опуская индекс i, получаем
Выполняя интегрирование при ∆Рс = const, приходим к следующему соотношению определения rв при различных значениях времени t.
Поскольку принимается, что абсолютная проницаемость некоторого пропласта в слоистом пласте может быть «бесконечно большой», обводнение такого слоистого пласта начнется в момент закачки воды, т.е. в момент времени t = 0. Другие пропластки, имеющие конечную проницаемость, будет обводняться в соответствующие моменты времени. Поэтому, чтобы найти проницаемость пропластков, обводнившихся к моменту времени t = t*, необходимо положить в последнем равенстве rв=R. Тогда получим формулу (32).
Замечание. Для прямолинейного вытеснения нефти водой уравнение (31) принимает вид:
где в – ширина элемента, хв(t) – продвижение воды за время t.
Замечание. Абсолютная проницаемость гидродинамический изолированных слоистых пропластков могут подчиняться гамме-распределения, плотность которого определяется по формуле
Задания для лабораторной работы.
№ п/п | Известные параметры | Распределение | Определить | Точность |
Прямолинейное вытеснение, в, l, H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, σ | Нормально-логарифмическое | qн(t), qв(t), qж(t), υ, h | ε = 10-8 | |
Прямолинейное вытеснение, в, l, H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, , a | гамма | qн(t), qв(t), qж(t), υ, h | ε = 10-9 | |
Семиточечное вытеснение R H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, σ | Нормально-логарифмическое | qн(t), qв(t), qж(t), υ, h | ε = 10-8 | |
Семиточечное вытеснение R H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, a | Гамма | qн(t), qв(t), qж(t), υ, h | ε = 10-10 |
Задача 7. Предположим, что плоский пласт состоит из двух областей с различными свойствами (проницаемостью, пористостью и т.д.), разделенных прямолинейной границей (рис. 11). Пусть в момент t = 0 первоначально стационарное состояние возмущается в результате пуска скважины в точке (а, 0) с постоянным расходом q. Тогда распределенные давления в каждой из областей описывается уравнениями.
(33)
На границе х = 0 выполняются условия непрерывности давлений и потоков:
Рис. 11
Во втором уравнений (33) в правую часть непосредственно введен точечный источник интенсивности q. Через δ, как обычно, обозначена дельта-функция, определяемая условиями
Решение. В работе [5] при (малые времена) получено
Пусть теперь имеется обратная неравенство: , в этом случае распределение давления имеет вид:
Замечание. П.Я. Полубаринова-Кочина рассмотрела аналогичную стационарную задачу и показала, что распределение давления в той части пласта, где находится источник, совпадает с распределением давления в однородной среде при действий двух источников интенсивностью (где ) расположенных симметрично относительно границы раздела.
Задания для лабораторных работ.
№ п/п | Заданные параметры | Определить | Точность |
x1, x2, k1, k2, q, a | P(x, y, t) при малых t | ε = 10-8 | |
x1, x2, k1, k2, q, a | P(x, y, t) при больших t | ε = 10-10 |
2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
Интерполяция | Приближение функции, известной на конечном множестве точек М, некоторой функцией (сплайном, многочленом Лагранжа и т.п.), значения которой совпадают со значениями данной функции на М. |
Постановка задачи. Функция у = f(x) задана в табличном виде
X | x0 | x1 | x2 | x3 | … | xn |
f(x) | f(x0) | f(x1) | f(x2) | f(x3) | … | f(xn) |
в точках ,
Найти приближенное значение функции у = f(x) в промежуточных точках
Решение. Если аналитический вид функции у = f(x) неизвестен, то значения функции вычисляются приближенно. Приближенные методы вычисления называется интерполированием функции. Наиболее точным и простым методом интерполирования функции является интерполирование функции сплайном.
Дата добавления: 2015-02-13; просмотров: 985;