Абсолютная устойчивость

Рассмотрим понятие абсолютной устойчивости применительно к структуре нелинейной системы рис. 2.2.

Уравнения, описывающие поведение системы при имеют в соответствии с [8] вид

(2.72)

Будем полагать, что , тогда уравнения имеют тривиальное решение , , , т.е. в системе существует положение равновесия, устойчивость которого будем исследовать.

Если положение равновесия системы (2.72) асимптотически устойчиво в целом при любом виде функции из заданного класса, то САУ называется абсолютно устойчивой в этом классе.

Будем рассматривать класс функций , удовлетворяющих секторным ограничениям, т.е. с характеристикой , построенной на плоскости , которая полностью укладывается в угловом секторе, образованном двумя прямыми и , .

Итак, рассматривается класс нелинейных функций, удовлетворяющих условиям

для , . (2.73)

При этом вид функции неизвестен, а нелинейность будет относиться к классу . Возможны также дополнительные ограничения, например, функция должна быть непрерывной или другие.

Из класса (2.73) выделяют два подкласса: и , .

Анализ абсолютной устойчивости возможен с помощью функций Ляпунова, а также частотных критериев абсолютной устойчивости. Рассмотрим последние как наиболее практичные.

Круговой критерий устойчивости.

Для нелинейностей из класса достаточным условием абсолютной устойчивости является выполнение неравенства

, (2.74)

где , , − АФЧХ линейной части системы (рис. 2.2).

Неравенство (2.74) определяет область на комплексной плоскости, в которой должна лежать АФЧХ линейной части системы, чтобы нелинейная система была абсолютно устойчива.

Заменяя в (2.74) знак неравенства на знак равенства, получим границу этой области. Это будет уравнение окружности с центром на вещественной оси в точке и проходящей через точки и на оси . Неравенство (2.74) требует, чтобы АФЧХ при всех располагалась вне круга, ограниченного этой окружностью. На рис. 2.20 приведены запретные области (заштрихованные) для характеристики и характеристики .

Рис. 2.20

В [4] даются более подробные случаи для разных классов .

Вторым распространенным частотным критерием является критерий В.М. Попова. Рассмотрим его формулировку для класса нелинейных характеристик : система будет абсолютно устойчивой для нелинейностей из класса , если через точку можно провести прямую так, что она не пересечет модифицированную частотную характеристику (последняя лежит справа от прямой).

В этом критерии под модифицированной частотной характеристикой понимается характеристика , где , .

Рис. 2.21, а удовлетворяет критерию абсолютно устойчивой системы, а рис. 2.21, б при заданном не удовлетворяет этому критерию.

Рис. 2.21

В заключение отметим, что все критерии абсолютной устойчивости, в том числе частотные, дают только лишь достаточные условия абсолютной устойчивости.