Скользящие режимы в нелинейных системах
Рассмотрим нелинейную САУ [7], изображенную на рис. 2.7, где – модель идеального реле: при , при .
Рис. 2.7
В соответствии с рис. 2.7 уравнение системы будет
.
Вводя новые переменные , , получим систему уравнений
из которой находим уравнения для фазовых траекторий
. (2.20)
Уравнение линии переключения получим из условия , т.е.
. (2.21)
В области фазовой плоскости при уравнение (2.20) имеет вид
, (2.22)
а там где , уравнение (2.20) будет
. (2.23)
Решения уравнений (2.22), (2.23) соответственно имеют вид:
, (2.24)
, (2.25)
где , произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями , .
Уравнения (2.24), (2.25) на фазовой плоскости определяют параболы. Уравнение (2.24) справедливо справа от линии переключения (2.21), а (2.25) – слева.
На рис. 2.8 изображен фазовый портрет нелинейной системы, из которого следует, что на линии переключения существует отрезок АВ, на котором все фазовые траектории с двух сторон входят в этот отрезок. Изображающая точка, попав на этот отрезок, далее с течением времени обязана двигаться по нему к началу координат (положению равновесия). Такой режим называется скользящим режимом, а отрезок АВ отрезкомскольжения. На рис. 2.8 начальная точка переходит по фазовым траекториям в точку , затем в (попадает на отрезок скольжения) и далее по линии переключения обязана двигаться к началу координат, т.е. в системе возникает режим скольжения.
Рис. 2.8
Найдем координаты точек А, В, т.е. длину отрезка скольжения. В точке А касательная к параболе должна совпадать с линией переключения, т.е. . Тогда с учетом (2.22) будем иметь , т.е. ордината точки А будет .
Аналогично, ордината точки В будет . Таким образом, длина отрезка АВ будет тем больше, чем больше или .
Найдем закон движения в скользящем режиме. На линии переключения (2.21) , но , откуда имеет место следующее уравнение
, (2.26)
определяющее закон движения в скользящем режиме. Решение уравнения (2.26) имеет вид .
Таким образом, на линии скольжения исходная нелинейная система второго порядка вырождается в линейную систему первого порядка (2.26), причем параметры процесса скольжения не зависят от параметров прямой цепи . Меняя , можно менять время попадания изображающей точки в начало координат, т.е. фактически время регулирования. Чем меньше величина , тем меньше время регулирования.
Дата добавления: 2015-02-07; просмотров: 2936;